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圆周运动的规律及应用
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1．[2019·湖南省永州市祁阳一中检测]如图为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图，已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，学员和教练员(均可视为质点)( )
A．运动周期之比为5：4
B．运动线速度大小之比为1：1
C．向心加速度大小之比为4：5
D．受到的合力大小之比为15：14
答案：D
解析：学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T＝知，周期相等，故A错误；根据v＝rω，学员和教练员做圆周运动的半径之比为5：4，则学员和教练员做圆周运动的线速度之比为5：4，故B错误：根据a＝rω2，学员和教练员做圆周运动的半径之比为5：4，则学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为5：4，故C错误；根据F＝ma，学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为5：4，质量之比为6：7，则学员和教练员受到的合力大小之比为15：14，故D正确．
2．[2019·福建省三明一中摸底]半径为1 m的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O点的正上方将一个可视为质点的小球以4 m/s的速度水平抛出时，半径OA方向恰好与该初速度的方向相同，如图所示，若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，则圆盘转动的角速度大小可能是( )
A．2π rad/s B．4π rad/s
C．6π rad/s D．8π rad/s
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答案：D
解析：小球平抛运动的时间为t＝＝ s＝0.25 s，小球做平抛运动的时间和圆盘转动n圈的时间相等，则有t＝nT＝n，解得ω＝，n＝1,2,3，….当n＝1时，ω＝8π rad/s；当n＝2时，ω＝16π rad/s，随着n的增大，角速度在增大，故角速度最小为8π rad/s，故D正确．
3．[2019·河北省邯郸市曲周一中调研]如图所示，长0.5 m的轻质细杆一端O处有光滑的固定转动轴，另一端固定有一个质量为3 kg的小球，当杆绕O在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时的速率为2 m/s，则此时轻杆的受力情况是(取g＝10 m/s2)( )
A．受54 N的拉力 B．受24 N的拉力
C．受6 N的压力 D．受6 N的拉力
答案：C
解析：杆带着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点，杆可能表现为拉力，也可能表现为推力，取决于速度的大小，在最低点，杆只能表现为拉力，设在最高点杆表现为拉力，则有F＋mg＝m，代入数据得，F＝－6 N，则杆表现为推力，大小为6 N，所以小球对杆表现为压力，大小为6 N，故C正确．
4．[2019·云南民族大学附中模拟]如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块Q两次都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法错误的是( )
A．Q受到桌面的支持力不变
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的周期变大
D．小球P运动的角速度变大
答案：C
解析：设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L.P
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做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有：T＝；mgtanθ＝mω2Lsinθ；Q受到重力、细线的拉力和桌面的支持力、摩擦力的作用，在竖直方向上：Mg＋Tcosθ＝FN；联立可得：FN＝Mg＋mg，和小球的高度、细线与竖直方向之间的夹角都无关，保持不变．故A正确．对Q，由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力f＝mgtanθ，则θ变大时，Q受到桌面的静摩擦力变大，故B正确．由mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝，使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cosθ减小，角速度增大．根据T＝可知，小球运动的周期将减小．D正确，C错误．此题选择错误的选项，故选C.
5．[2019·河南省南阳一中测试](多选)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T—v2图象如图乙所示，则( )
A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．小球在最低点受到的最小拉力为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中杆始终对小球产生支持力
答案：AB
解析：在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg＋T＝m，得：T＝·v2－mg①，由图象知，T＝0时，v2＝b，图象的斜率k＝，则得：＝，得绳长L＝；当v2＝0时，T＝－a，由①得：a＝mg，得g＝，故A、B正确；只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得，最高点：T1＋mg＝m②，最低点：T2－mg＝m③，从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：mv－mv＝2mgL④，联立②③④解得：T2－T1＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
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，故C错误；若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；当转过90°时，小球的向心力必定由杆的拉力提供，所以可知，小球从最高点由静止转过90°的过程中，杆对小球的作用力先是支持力，然后是拉力，故D错误．
6．[2019·广东省惠州调研](多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
答案：AC
解析：两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的最大静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得：T－μmg＝mω2r；T＋μmg＝mω2·2r；解得：T＝3μmg，ω＝，故A、C正确，B错误．烧断绳子瞬间A物体所需的向心力为2μmg，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，D错误，故选A、C.
7．[2019·四川省成都外国语学校模拟]如图，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的夹角．板上一根长为L＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，第一次给小球一初速度使小球恰能在板上做完整的圆周运动，小球在最高点的速度大小为 m/s，若要使小球在最高点时绳子的拉力大小恰与重力大小相等，则小球在最高点的速度大小为(取重力加速度g＝10 m/s2)( )
A. m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．2 m/s
答案：C
解析：
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小球在斜面上运动时受绳子拉力、斜面弹力、重力．在垂直斜面方向上合力为0，重力在沿斜面方向的分量为mgsinα，若恰好通过最高点时绳子拉力T＝0，此时mgsinα＝m，代入数据得：sinα＝，若要使小球在最高点时绳子的拉力大小恰与重力大小相等，小球在最高点时，由绳子的拉力和重力分力的合力提供向心力，T＋mgsinα＝m，代入数据得：v′＝3 m/s，故C正确．
8．[2019·重庆一中模拟]如图，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合，转台以一定角速度ω匀速旋转．有两个质量均为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，两小物块都随陶罐一起绕过球心，O的竖直轴转动且相对罐壁静止，两物块和球心O的连线相互垂直，且A物块和球心O的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，已知重力加速度大小为g，若A物块受到的摩擦力恰好为零，则B物块受到的摩擦力大小为( )
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案：A
解析：当A所受摩擦力恰为零时，A和球心的连线与竖直方向的夹角为60°，根据牛顿第二定律得mgtan60°＝mrω2，r＝Rsin60°，此时B有沿罐壁向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，竖直方向上Ncos30°－fsin30°－mg＝0，水平方向上Nsin30°＋fcos30°＝mr′ω2，r′＝Rsin30°，联立解得f＝mg，A正确．
9．[2019·河北省石家庄二中模拟](多选)2017年7月23日，在第13届莫斯科航展上“俄罗斯勇士”飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作．现将其简化成如图所示的光滑的板(飞机)和小球(飞行员)，让小球在竖直面内始终与板相对静止且做匀速圆周运动．A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高，且此时板与水平面成θ角，设小球的质量为m，做圆周运动的半径为R，线速度为v，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
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A．小球通过C处时向心力与小球通过A处的向心力大小相等
B．小球在C处受到板的弹力比在A处大5mg
C．在B、D两处板的倾角与小球的运动速度v应满足tanθ＝
D．小球在B、D两处受到板的弹力为N＝
答案：ACD
解析：小球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，小球通过C处时向心力与小球通过A处的向心力大小相等，选项A正确；对小球在A、C两处受力分析，分别由圆周运动的特点得N1＋mg＝，N2－mg＝，联立得N2－N1＝2mg，选项B错误；在B、D两处板与水平方向的夹角为θ，tanθ＝，选项C正确；对小球在B、D两处受力分析，可得N＝，选项D正确．
10．[新情景题](多选)质量为m的小球通过轻绳a和b与两相互垂直的轻质木架上的A点和C点相连，如图所示，当木架AB绕木架BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，此时轻绳a竖直伸直，轻绳b水平伸直，轻绳a的长度为La，轻绳b的长度为Lb，小球运动到图示位置时，轻绳b被烧断，同时木架停止转动，已知重力加速度大小为g，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在轻绳b被烧断瞬间，轻绳a中张力突然增大
C．若ω＝，则木架停止转动后小球不可能做完整的圆周运动
D．若ω＝，则木架停止转动后小球可能做完整的圆周运动
答案：BD
解析：小球原来在水平面内做匀速圆周运动，轻绳b被烧断后，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动或做圆周运动，故A错误；轻绳b被烧断前，小球在竖直方向没有位移，加速度为零，轻绳a中张力等于小球的重力，在轻绳b被烧断瞬间，轻绳a中张力与小球重力的合力提供小球的向心力，且向心力竖直向上，轻绳a的张力将大于小球重力，即轻绳a中张力突然增大，故B正确；轻绳b被烧断，木架停止转动前瞬间，设小球运动的线速度为v1，v1＝ωLb，要使小球恰能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度v2必须满足mg＝
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m，根据机械能守恒定律知mv＝mg·2La＋mv，联立以上可求得ω＝，即ω≥时，小球可以在垂直于平面ABC的竖直面内做完整的圆周运动，C错误，D正确．
11．[2019·湖南师范大学附属中学模拟]如图放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，B与转台、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力有可能为3μmg
B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C．转台的角速度ω有可能恰好等于
D．若角速度ω在题干所述基础上缓慢增大，A与B间将最先发生相对滑动
答案：C
解析：对A、B整体，有：(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g，对物体C，有：mω2·1.5r≤μmg，对物体A，有：3mω2r≤μ·3mg，联立解得：ω≤ ，即若不发生相对滑动，转台的角速度ω≤ ，可知A与B间的静摩擦力最大值fm＝3mrω2＝3mr·＝2μmg，故A错误，C正确．由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力，有m×1.5rω2
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