2019高中数学第二章圆锥曲线与方程抛物线的综合问题及应用习题课精练含解析北师大版选修1_1.doc

习题课--抛物线的综合问题及应用 ‎1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线,与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:因为抛物线的焦点为,直线方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,‎ 所以.故选C.‎ 答案:C ‎2.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B.[-2,2]‎ C.[-1,1] D.[-4,4]‎ 解析:准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),‎ 由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,‎ 当k=0时,x=0,即交点为(0,0);‎ 当k≠0时,由Δ≥0,得-1≤k0)的焦点坐标为F,‎ 由F是△AOB的垂心,知AF⊥OB,‎ 因此kAFkOB=-1,‎ 即=-1.①‎ 由点A在抛物线上,得=2px1.②‎ 将②代入①,得x1=,故直线AB的方程为x=p.‎ 答案:D ‎4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率为k的直线方程为y=k(x+1),联立消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.‎ 由Δ=(2k2-4)2-4k41,解得k1.‎ 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=　　　　　. ‎ 解析:设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.‎ 答案:2‎ ‎6.导学号01844020过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为　　　　　. ‎ 解析:方法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=3x1,①‎ ‎=3x2,②‎ x1+x2=4,y1+y2=4.③‎ ‎①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).④‎ - 5 -‎ 将③代入④得y1-y2=(x1-x2),‎ 即,‎ ‎∴k=.‎ ‎∴所求弦AB所在直线方程为y-2=(x-2),即3x-4y+2=0.‎ 方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.‎ 由 消去x,得ky2-3y-6k+6=0,‎ 此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=,又y1+y2=4,∴k=.‎ ‎∴所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.‎ 答案:3x-4y+2=0‎ ‎7.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为　　　　　. ‎ 解析:由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=x2上的点,且横坐标分别为4,-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.‎ 答案:-4‎ ‎8.导学号01844021抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.‎ 解如图所示,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),‎ 则直线方程为y=-x+p.‎ - 5 -‎ 设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,‎ 即x1++x2+=8.①‎ 又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,‎ 由消去y,得x2-3px+=0,‎ ‎∴x1+x2=3p.将其代入①得p=2,‎ ‎∴所求抛物线方程为y2=4x.‎ 当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.‎ ‎9.导学号01844022如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.‎ 解点A,B在抛物线y2=4px上 设A,B,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=,kOB=,‎ 由OA⊥OB,得kOA·kOB==-1,①‎ 又点A在AB上,得直线AB方程为 ‎(yA+yB)(y-yA)=4p,②‎ 由OM⊥AB,得直线OM方程为y=x,③‎ 设点M(x,y),则x,y满足②,③两式,‎ 将②式两边同时乘以-,并利用③式,可得=-x2+,‎ 整理得yAyB+(x2+y2)=0,‎ 由①式知,yAyB=-16p2,所以x2+y2-4px=0,‎ - 5 -‎ 因为A,B是原点以外的两点,所以x>0.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆去掉坐标原点.‎ - 5 -‎