1.1 椭圆及其标准方程
1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.
答案:A
2.椭圆=1的焦点坐标是( )
A.(±5,0) B.(0,±5)
C.(0,±12) D.(±12,0)
解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).
答案:C
3.已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=( )
A.10 B.5
C.15 D.25
解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.
答案:D
4.已知椭圆=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
∴△PF1F2为直角三角形.
答案:A
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5.导学号01844010已知P是椭圆=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是 .
解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, ①
∵∠F1PF2=90°,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36, ②
由①②,得|PF1|·|PF2|=32.
∴S=|PF1|·|PF2|=16.
答案:16
6.若椭圆=1的焦距等于2,则m的值是 .
解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,
所以c2=m-15,所以2c=2=2,解得m=16;
当椭圆的焦点在y轴上时,同理有2=2,
所以m=14.
答案:16或14
7.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是 .
解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
所以4c=2a=4,所以a=2.
又c=1,所以b2=a2-c2=3,
故椭圆方程为=1.
答案:=1
8.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.
解由9x2+5y2=45,得=1.
其焦点F1(0,2),F2(0,-2).
设所求椭圆方程为=1.
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又∵点M(2,)在椭圆上,
∴=1. ①
又a2-b2=4, ②
解①②得a2=12,b2=8.
故所求椭圆方程为=1.
9.导学号01844011已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.
(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;
(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.
解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4, ①
且F1(-,0),F2(,0).
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°. ②
由①②得|PF1|·|PF2|=.
所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=.
(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得
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