2.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线y2=20x的焦点坐标为( )
A.(20,0) B.(10,0)
C.(5,0) D.(0,5)
答案:C
2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
解析:椭圆的右焦点为(2,0),
∴=2,∴p=4.
答案:D
3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )
A.4 B.2 C.1 D.8
解析:如图,F,过A作AA'⊥准线l,
∴|AF|=|AA'|,∴x0=x0+,∴x0=1.
答案:C
4.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C.|a| D.-
解析:∵2p=|a|,∴p=.
∴焦点到准线的距离是.
答案:B
5.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点( )
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A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,4)
解析:由题意易知直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.
答案:B
6.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0
C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0
解析:抛物线y2=4x的焦点是(1,0),
∴圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,
即x2+y2-2x=0.
答案:D
7.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点是原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .
解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax,
∵点P(2,4)在抛物线上,∴42=4a,∴a=4.
即所求抛物线的方程为y2=8x.
答案:y2=8x
8.导学号01844015在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,满足|PF|=9,设P(x0,y0),则|PF|=x0+=x0+3=9,∴x0=6,∴y0=±6.
答案:(6,±6)
9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x轴的交点;
(2)准线是x=-;
(3)焦点在x轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;
(4)焦点在x轴正半轴上,焦点到直线x=-5的距离是8.
解(1)直线与x轴的交点为(5,0),
故所求抛物线方程为y2=20x.
(2)准线方程为x=-,∴,
∴p=3,开口向右,∴抛物线方程为y2=6x.
(3)由于p=2,焦点在x轴正半轴上,
∴抛物线方程为y2=4x.
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(4)焦点在x轴正半轴上,设其坐标为(x0,0),
∴x0+5=8,∴x0=3.
∴焦点为(3,0),
即=3,p=6.
故抛物线方程为y2=12x.
10.导学号01844016已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.
(2)求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.
解如图,将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.
∵>2,∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,
由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,
即|PA|+|PF|的最小值为,
此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.
∴点P坐标为(2,2).
(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,
当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,
∴|PB|+d的最小值为.
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