三角形的中位线
一课一练·基础闯关
题组 三角形的中位线定理及其应用
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为 ( )
A.1 B.2 C. D.1+
【解析】选A.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC=2.
又∵点D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE是△ACB的中位线,
∴DE=AB=1.
2.(2017·营口中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点,以AC为斜边作Rt△ADC,若∠CAD=∠CAB=45°,则下列结论不正确的是 ( )
世纪金榜导学号10164150
A.∠ECD=112.5° B.DE平分∠FDC
C.∠DEC=30° D.AB=CD
【解析】选C.∵AB=AC,∠CAB=45°,
∴∠B=∠ACB=67.5°.
∵在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∠ADC=90°,
- 8 -
∴∠ACD=45°,AD=DC,
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°,故A正确,不符合题意;
∵E,F分别是BC,AC的中点,
∴FE=AB,FE∥AB,
∴∠EFC=∠BAC=45°,∠FEC=∠B=67.5°.
∵F是AC的中点,∠ADC=90°,AD=DC,
∴FD=AC,DF⊥AC,∠FDC=45°,
∵AB=AC,
∴FE=FD,
∴∠FDE=∠FED=(180°-∠EFD)=(180°-135°)=22.5°,
∴∠FDE=∠FDC,
∴DE平分∠FDC,故B正确,不符合题意;
∵∠FEC=∠B=67.5°,∠FED=22.5°,
∴∠DEC=∠FEC-∠FED=45°,故C错误,符合题意;
∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=DC,
∴AC=CD,
∵AB=AC,
∴AB=CD,故D正确,不符合题意.
3.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是_________.
【解析】∵D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
- 8 -
∴DE∥AB,
∴∠ABF=∠BFD,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∴∠CBF=∠BFD,
∴DF=BD,
∵D是BC的中点,BC=6,
∴BD=BC=×6=3,
∴DF=3.
答案:3
4.如图,若△ABC的周长为1,它的3条中位线组成一个新的三角形,记作△A1B1C1,△A1B1C1的3条中位线又组成一个新的三角形,记作△A2B2C2(如图所示),…,以此类推,则△A2017B2017C2017的周长是________.
【解析】∵B1C1,A1C1,A1B1是△ABC的3条中位线,
∴B1C1=BC,A1C1=AC,A1B1=AB,
∴△A1B1C1的周长=,
同理△A2B2C2的周长=,
以此类推,△A2017B2017C2017的周长为.
答案:
5.如图,△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8cm,则△ABC的面积为________cm2.
世纪金榜导学号10164151
- 8 -
【解析】因为DE是△ABC的中位线,
所以DE∥BC,DE=BC.
因为DE=5cm,
所以BC=10cm.连接AF,由折叠的性质可得:AF⊥DE,∴AF⊥BC,
∴点A到BC的距离为8cm,
所以△ABC的面积为:10×8÷2=40(cm2).
答案:40
6.已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC边的中点,AB=8,
AC=12,则DE长为________.
【解析】延长BD交AC于点F,
∵AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,
∴AB=AF=8,BD=DF,
∵BE=CE,∴DE是△BCF的中位线,∴DE=CF,
∵CF=AC-AF=12-8=4,∴DE=2.
- 8 -
答案:2
【方法技巧】构造三角形的中位线证明线段相等
1.题中有中点时,通常可以添加中位线或等量延长中位线.
2.添辅助线的三条基本策略:(1)将分散的条件集中.(2)设法沟通条件与欲求问题(或待证结论)之间的关系.(3)化隐蔽的条件为明显的条件.
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使AD=AB,连接DE,DF.
求证:AF与DE互相平分. 世纪金榜导学号10164152
【证明】连接EF,AE,
∵点E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF∥AB,EF=AB,
又∵AD=AB,
∴EF=AD,
又∵EF∥AD,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AF与DE互相平分.
已知两个等腰Rt△ABC,Rt△CEF有公共顶点C,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.如图,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF.
- 8 -
世纪金榜导学号10164153
【证明】如图,延长AB交CF于点D,
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,
∴点B为线段AD的中点,
又∵点M为线段AF的中点,
∴BM为△ADF的中位线,
∴BM∥CF.
【母题变式】
[变式一]如图,其他条件不变,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长.
【解析】如图所示,
延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形,
- 8 -
∴AB=BC=BD=a,AC=CD=a,
∴点B为AD中点,又∵点M为AF中点,
∴BM=DF.
分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=2a,
∴点E为FG的中点,又点M为AF的中点,
∴ME=AG.
∵CG=CF=2a,CA=CD=a,
∴AG=DF=a,
∴BM=ME=×a=a.
[变式二]如图,其他条件不变,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.
【证明】如图,
延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD,
∴点B为AD的中点,又点M为AF的中点,∴BM=DF.
延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
- 8 -
∴CE=EF=EG,CF=CG,
∴点E为FG的中点,又点M为AF的中点,∴ME=AG.
在△ACG与△DCF中,
∴△ACG≌△DCF(SAS),
∴DF=AG,
∴BM=ME.
- 8 -
微信/支付宝扫码支付