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解答题滚动练7
1.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列.
解 (1)由题意知本题是一个古典概型，记事件A为“取出的3个球中至少有一个红球”，则事件A的对立事件为“取出的3个球中没有红球”，因为试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C种结果，满足的条件有C种结果，所以P(A)＝1－P()＝1－＝.
(2)满足条件取出的3个球得分之和恰好为1分有两种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球，记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有CC种结果.“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有CC种结果.其中事件B和C是互斥事件，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
(3)ξ可能的取值为0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＋a8＝－10，S10＝－35.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
解 (1)由题设可得
解得
所以an＝1－(n－1)＝2－n.
(2)因为＝－n·，
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所以Tn＝2＋1＋＋…＋－，
令Sn＝2＋1＋＋…＋，
Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·，
则Tn＝Sn－Sn′，
因为Sn＝2＋1＋＋…＋＝＝4＝4－，
Sn′＝1＋2×＋3×＋…＋n·， ①
所以Sn′＝＋2×＋3×＋…＋n·， ②
由①－②，得
Sn′＝1＋＋＋＋…＋－n·＝－n·＝2－－n·，
所以Sn′＝4－－n·，
因此Tn＝Sn－Sn′＝.
3.过点C(2，2)作一直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，点P是抛物线y2＝4x上到直线l：y＝x＋2的距离最小的点，直线AP与直线l交于点Q.
(1)求点P的坐标；
(2)求证：直线BQ平行于抛物线的对称轴.
(1)解 设点P的坐标为(x0，y0)，则y＝4x0，
所以点P到直线l的距离
d＝＝＝≥.
当且仅当y0＝2时等号成立，此时P点坐标为(1，2).
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(2)证明 设点A的坐标为，显然y1≠2.
当y1＝－2时，A点坐标为(1，－2)，直线AP的方程为x＝1；
当y1≠－2时，直线AP的方程为y－2＝(x－1)，
化简得4x－(y1＋2)y＋2y1＝0.
综上，直线AP的方程为4x－(y1＋2)y＋2y1＝0.
与直线l的方程y＝x＋2联立，可得点Q的纵坐标为yQ＝.
当y＝8时，直线AC的方程为x＝2，可得B点的纵坐标为yB＝－y1.
此时yQ＝＝2－＝2－＝－y1，
即知BQ∥x轴，
当y≠8时，直线AC的方程为y－2＝(x－2)，
化简得(4y1－8)x－(y－8)y＋(2y－8y1)＝0，
与抛物线方程y2＝4x联立，消去x，
可得(y1－2)y2－(y－8)y＋(2y－8y1)＝0，
所以点B的纵坐标为yB＝－y1＝.
从而可得BQ∥x轴，
所以BQ∥x轴.
4.已知函数f(x)＝aln x＋x2－x，其中a∈R.
(1)当a＞0时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)＝aln x＋x2－x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2x－1＝，设g(x)＝2x2－x＋a，Δ＝1－8a.
①当a≥时，Δ≤0，g(x)≥0成立，故f′(x)≥0成立，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
②当0＜a＜时，Δ＞0，令g(x)＝0，得x1＝，x2＝.
显然x2＞x1＞0，
当x∈(0，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
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综上，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
当0＜a＜时，f(x)在，上为增函数，
在上为减函数.
(2)显然f(1)＝0，由x≥1可知，
当a≥0时，aln x≥0，x2－x≥0，故f(x)≥0成立；
当a＜0时，Δ＝1－8a＞0.
令g(x)＝0，得x1＝，x2＝.
显然x1＜0，x2＞0，
当x∈(0，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
若－1≤a＜0，则x2≤1，当x≥1时，f(x)为增函数，故f(x)≥f(1)＝0成立；
若a＜－1，则x2＞1，由f(x)在(0，x2)上为减函数可知，
当x∈(1，x2)时，f(x)为减函数，
f(x)＜f(1)＝0与题意不符，舍去.
综上，a的取值范围是[－1，＋∞).
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