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解答题滚动练8
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.
解 (1)根据倍角公式cos 2x＝2cos2x－1，
得2cos2A＋＝2cos A，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，
所以(2cos A－1)2＝0，
所以cos A＝，又因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)根据正弦定理＝＝，
得b＝sin B，c＝sin C，
所以l＝1＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)，
因为A＝，所以B＋C＝，
所以l＝1＋＝1＋2sin，
因为0＜B＜，所以l∈(2，3].
2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：
贷款期限
6个月
12个月
18个月
24个月
36个月
频数
20
40
20
10
10
以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；
(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元.
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解 (1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，
所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是
P1＝C×0.42×0.6＝0.288.
(2)P(ξ＝200)＝0.2，P(ξ＝300)＝0.6，P(ξ＝400)＝0.2，
所以ξ的分布列是
ξ
200
300
400
P
0.2
0.6
0.2
E(ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.
3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；
(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；
(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明 由已知得EF∥CD，且EF＝CD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，所以有BG∥CD.
因为G是棱AB的中点，所以BG＝CD.
所以EF∥BG，且EF＝BG，
故四边形EFBG为平行四边形，所以EG∥FB.
因为FB⊂平面BDF，EG⊄平面BDF，
所以EG∥平面BDF.
(2)解 因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC.
因为平面CDEF⊥平面ABCD，
平面CDEF∩平面ABCD＝DC，
DE⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.
在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，
所以由余弦定理，得BD＝，所以AD⊥BD.
在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1.
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如图，以D为原点，以DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，F，
所以＝(－1，0，1)，＝，＝(0，，0).
设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，则x＝2，y＝0，
得n＝(2，0，1).
设直线AE与平面BDF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
所以AE与平面BDF所成的角的正弦值为.
(3)解 线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.理由如下：
假设线段FC上存在点H，设H(0≤t≤1)，
则＝，
设平面HAD的法向量为m＝(a，b，c)，
由得
取c＝1，则a＝0，b＝－ t，得m＝.
要使平面BDF⊥平面HAD，只需m·n＝0，
即2×0－ t×0＋1×1＝0，此方程无解.
所以线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD.
4.已知函数f(x)＝aln x＋b(a，b∈R)，曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)＋≥1；
(3)已知满足xln x＝1的常数为k.令函数g(x)＝mex＋f(x)(其中e是自然对数的底数，e＝
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2.718 28…)，若x＝x0是g(x)的极值点，且g(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围.
(1)解 f(x)的导函数f′(x)＝，
由曲线f(x)在x＝1处的切线方程为x－y－1＝0，知f′(1)＝1，f(1)＝0，所以a＝1，b＝0.
(2)证明 令u(x)＝f(x)＋－1＝ln x＋－1，
则u′(x)＝－＝，
当0＜x＜1时，u′(x)＜0，u(x)单调递减；当x＞1时，
u′(x)＞0，u(x)单调递增，所以当x＝1时，u(x)取得极小值，也即最小值，该最小值为u(1)＝0，
所以u(x)≥0，即不等式f(x)＋≥1成立.
(3)解 函数g(x)＝mex＋ln x(x＞0)，
则g′(x)＝mex＋，
当m≥0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)无极值，不符合题意；
当m＜0时，由g′(x)＝mex＋＝0，得ex＝－，
结合y＝ex，y＝－在(0，＋∞)上的图象可知，关于x的方程mex＋＝0一定有解，其解为x0(x0＞0)，且当0＜x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，x0)内单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)在(x0，＋∞)内单调递减.
则x＝x0是函数g(x)的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，
x＝x0也是g′(x)＝0在(0，＋∞)上的唯一零点，
即m＝－，则m＝－.
所以g(x)max＝g(x0)＝m＋ln x0＝－＋ln x0.
由于g(x)≤0恒成立，则g(x)max≤0，
即－＋ln x0≤0， (*)
考查函数h(x)＝ln x－，则h′(x)＝＋＞0，
所以h(x)为(0，＋∞)上的增函数，且h＝－1－e＜0，h(e)＝1－＞0，
又常数k满足kln k＝1，即－＋ln k＝0，
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所以k是方程－＋ln x0＝0的唯一根，
于是不等式(*)的解为x0≤k，
又函数t(x)＝－(x＞0)为增函数，故m＝－≤－，
所以m的取值范围是.
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