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解答题滚动练4
1.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)＝，a＝1，求△ABC周长的最大值.
解 (1)f(x)＝sin 2x＋×(1＋cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，由2x＋＝2kπ＋，得x＝kπ＋，k∈Z，当x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)有最大值，即f(x)取最大值时x的集合为.
(2)f(A)＝sin＋＝，sin＝，
∵A∈(0，π)，
∴2A＋∈，
∴2A＋＝，A＝，
∴12＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥，
∴b＋c≤2，a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.
2.已知数列{an}满足：a1＝－，an＋1＝(n∈N*).
(1)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝(an＋1)(n∈N*)，若对一切n∈N*，都有(1－b1)(1－b2)…(1－bn) ≤成立，求实数λ的最小值.
解 (1)因为an＋1＋1＝＋1＝，
因为＝＝3＋，所以－＝3，所以是首项为3，公差为3的等差数列，所以＝3n，∴an＝－1.
(2)由(1)知bn＝，设f(n)＝·(n≥1，n∈N*)，由＝＜1，得λ
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≥，即λ的最小值为.
3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：
(1)求乙公司的快递员日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系；
(2)若将频率视为概率，回答下列问题：
①记甲公司的“快递员”日工资为X(单位：元)，求X的分布列和期望；
②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
解 (1)由题意，当0≤n≤83时，y＝120元，当n＞83时，y＝120＋(n－83)×10＝10n－710，
∴乙公司的快递员日工资y(单位：元)与送件数n的函数关系为
y＝
(2)X的所有可能取值为152，154，156，158，160.
①由题意，P(X＝152)＝0.1，P(X＝154)＝0.1，P(X＝156)＝0.2，P(X＝158)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，
∴X的分布列为
X
152
154
156
158
160
P
0.1
0.1
0.2
0.3
0.3
∴期望E(X)＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2.
②设乙公司的日工资为Y，则
E(Y)＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.
由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.
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4.已知函数f(x)＝x2＋acos x，g(x)是f(x)的导函数.
(1)若f(x)在处的切线方程为y＝x－，求a的值；
(2)若a≥0且f(x)在x＝0时取得最小值，求a的取值范围；
(3)在(1)的条件下，当x＞0时，求证＋x2＞.
(1)解 f′(x)＝x－asin x，f′＝－a＝，
∴a＝－1，经验证a＝－1符合题意.
(2)解 g(x)＝f′(x)＝x－asin x，
则g′(x)＝1－acos x.
①当a＝0时，f(x)＝x2，显然在x＝0时取得最小值，
∴a＝0符合题意；
②当a＞0时，
(i)当≥1即0＜a≤1时，g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又g(0)＝0，
∴当x＜0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在x＝0时取得最小值，
∴当0＜a≤1时符合题意；
(ii)当0＜＜1，即a＞1时，在(0，π)内存在唯一x0使g′(x)＝0，即cos x0＝.
当x∈(0，x0)时，
∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴cos x＞cos x0＝，
∴g′(x)＝a＜0，
∴g(x)在(0，x0)上单调递减，
∴g(x)＜g(0)＝0，
即f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，x0)上单调递减，
∴当x∈(0，x0)时，f(x)＜f(0)，
这与f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)≥f(0)矛盾，
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∴当a＞1时不合题意.
综上，a的取值范围是[0，1].
(3)证明 由(1)知，a＝－1，
此时g(x)＝x＋sin x，g′(x)＝1＋cos x，
∴＝＝≥cos ，
∴若要证原不等式成立，只需证cos ＋x2＞e成立.
由(2)知，当a＝1时，f(x)≥f(0)恒成立，即x2＋cos x≥1恒成立，
即cos x≥1－x2(当且仅当x＝0时取“＝”)，
∴cos ≥1－x2(当且仅当x＝0时取“＝”)， ①
∴只需证1－x2＋x2＞成立，即1＋x2＞.
又由基本不等式知，1＋x2≥x(当且仅当x＝2时取“＝”)， ②
∵①②两个不等式取”＝”的条件不一致，
∴只需证x≥，
两边取对数得ln x≥1－， ③
下面证③式成立，令φ(x)＝ln x－1＋，
则φ′(x)＝－＝，
∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(1)＝0，
即ln x－1＋≥0，∴ln x≥1－.
即③式成立，∴原不等式成立.
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