由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解答题滚动练
解答题滚动练1
1.(2017届长郡中学模拟)四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2.
(1)求cos A－cos C的值；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S＋S的最大值.
解 (1)在△ABD中，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝16－8cos A，
在△BCD中，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝8－8cos C，
所以cos A－cos C＝1.
(2)依题意S＝AB2·AD2sin2A＝12－12cos2A，
S＝BC2·CD2sin2C＝4－4cos2C，
所以S＋S＝12－12cos2A＋4－4cos2C＝16－4(cos C＋1)2－4cos2C
＝－8cos2C－8cos C＋12＝－82＋14，
因为2－2＜BD＜4，
所以8－8cos C＝BD2∈.
解得－1＜cos C＜－1，
所以S＋S≤14，当cos C＝－时取等号，即S＋S的最大值为14.
2.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设bn＝，数列的前n项和为Tn，求证： Tn＜.
(1)解 ∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，
∴Sn＝na1＋d＝n2－n＋na1，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴S＝S1·S4，
即(22－2＋2a1)2＝a1·(42－4＋4a1)，化为(1＋a1)2＝a1(3＋a1)，解得a1＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)证明 由(1)可得an＝2n－1，则bn＝
＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋＋＋…＋
＝＝＝－.
∵n∈N*，
∴＞0，
∴－＜，即Tn＜.
综上所述， Tn＜.
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC， ∠A1AC＝60°， AC＝2AA1＝4，点D， E分别是AA1， BC的中点.
(1)证明： DE∥平面A1B1C；
(2)若AB＝2， ∠BAC＝60°，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.
(1)证明 取AC的中点F，连接DF， EF，
∵ E是BC的中点，
∴ EF∥AB，
∵ ABC－A1B1C1是三棱柱，
∴ AB∥A1B1，
∴ EF∥A1B1，
∴ EF∥平面A1B1C，
∵ D是AA1的中点，
∴ DF∥A1C，
∴ DF∥平面A1B1C.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
又EF∩DF＝F，
∴平面DEF∥平面A1B1C，
∴ DE∥平面A1B1C.
(2)解 过点A1作A1O⊥AC，垂足为O，连接OB，
∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，
∴ A1O⊥平面ABC，
∴ A1O⊥OB， A1O⊥OC.
∵∠A1AC＝60°， AA1＝2，
∴ OA＝1，OA1＝，
∵ AB＝2，∠OAB＝60°，由余弦定理，得
OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcos∠BAC＝3，
∴ OB＝，∠AOB＝90°，
∴ OB⊥AC，
分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
由题设可得A(0，－1，0)，C(0，3，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，D，E，
∴＝(，1，0)，＝(0，1，).
设m＝是平面ABB1A1的一个法向量，
则
即
令z1＝1，∴m＝(1，－，1)，
∵＝，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴cos〈m，〉＝＝，
∴直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
4.已知函数f(x)＝x2－x，g(x)＝ex－ax－1.
(1)讨论函数g(x)的单调性；
(2)当x＞0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)g′(x)＝ex－a.
①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
②当a＞0时，当x∈(－∞，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.
(2)当x＞0时，x2－x≤ex－ax－1，
即a≤－x－＋1.
令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，
则h′(x)＝.
令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)，
则F′(x)＝x(ex－2).
当x∈(0，ln 2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；
当x∈(ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增.
又F(0)＝0，F(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，F(x)＜0，
即h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，F(x)＝(x－1)(ex－x－1)＞0，
即h′(x)＞0，h(x)单调递增.
所以h(x)min＝h(1)＝e－1，
所以a∈(－∞，e－1].
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付