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解答题滚动练3
1.(2017·日照模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值.
解 (1)f(x)＝sin 2x－2cos2x－1＝sin 2x－(cos 2x＋1)－1
＝sin 2x－cos 2x－2＝2sin－2，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－4.
(2)因为f(C)＝2sin－2＝0，
所以sin＝1.
又C∈(0，π)，2C－∈，所以2C－＝，得C＝.
因为sin B＝2sin A，由正弦定理，得b＝2a，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，
又c＝，所以a＝1，b＝2.
2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0＜p＜1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验.
化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
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(2)若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.
解 (1)该混合样本达标的概率是2＝，
所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－＝.
(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6.
其分布列如下，
ξ2
2
4
6
P
2
C××
2
可求得方案二的期望为E(ξ2)＝2×＋4×＋6×＝，
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5.
其分布列如下，
ξ4
1
5
P
4
1－4
可求得方案四的期望为E(ξ4)＝1×＋5×＝.
比较可得E(ξ4)＜E(ξ2)＜4，故选择方案四最“优”.
(3)方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5.
η3
2
5
P
p3
1－p3
E(η3)＝2·p3＋5(1－p3)＝5－3p3；
方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5.
η4
1
5
P
p4
1－p4
E(η4)＝1·p4＋5(1－p4)＝5－4p4；
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由题意得E(η3)＜E(η4)⇔5－3p3＜5－4p4⇔p＜.
故当0＜p＜时，方案三比方案四更“优”.
3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形且∠BAA1＝60°，D，M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，AA1＝A1D＝2，BC＝1.
(1)证明：直线MD∥平面ABC；
(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.
方法一 (1)证明 连接A1C，
∵A1D⊥CC1，且D为中点，AA1＝A1D＝2，∴A1C＝A1C1＝＝AC，
又BC＝1，AB＝BA1＝2，∴CB⊥BA，CB⊥BA1，
又BA∩BA1＝B，∴CB⊥平面ABB1A1，
取AA1的中点F，则BF⊥AA1，即BC，BF，BB1两两互相垂直，
以B为原点，BB1，BF，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∴B1，C，A，A1，C1，D，M，
＝，设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，
则
取m＝(，1，0)，
∵m·＝－＋0＝0，∴m⊥，
又MD⊄平面ABC，∴直线MD∥平面ABC.
(2)解 设平面ACA1的法向量为n＝，＝，＝，
则取n＝，
又由(1)知平面ABC的法向量为m＝，
设二面角B－AC－A1为θ，θ为锐角，
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∴cos θ＝＝＝.
方法二 (1)证明 如图，取AB的中点N，连接MN，CN，则有MN綊AA1綊CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，∴MD∥NC，
又MD⊄平面ABC，NC⊂平面ABC，
∴直线MD∥平面ABC.
(2)解 由各棱长易得BC⊥BA，BC⊥BA1，
∴BC⊥平面ABB1A1，
如图所示，取AB的中点N，连接A1N，过N作NH⊥AC于H，连接HA1.
∵BC⊥A1N，AB⊥A1N，AB∩BC＝B，
∴A1N⊥平面ABC，
∴A1N⊥AC，
又∵NH⊥AC，NH∩A1N＝N，
∴AC⊥平面A1NH，
∴A1H⊥AC，
故∠NHA1为所求的二面角的平面角，
在Rt△A1NH中，由△ANH∽△ACB，得NH＝，AH＝，则A1H＝，故cos∠NHA1＝＝＝，故所求的二面角的余弦值为.
4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点E(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若存在过点(t，0)的直线l交椭圆于A，B两点，使得FA⊥FB(F为右焦点)，求t的取值范围.
解 (1)由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则kME＝1，ME的直线方程为y＝x＋，
联立得7x2＋8x＋28－12c2＝0，由Δ＝0，得c＝1，
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所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得
(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
由Δ＞0，得3m2－t2＋4＞0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，
所以7t2－8t－8＝9m2有解，
所以7t2－8t－8≥0，且7t2－8t－8－3t2＋12＞0，
则t≥或t≤.
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