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解答题滚动练2
1.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
解 (1)由题意可得列联表如下：
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
20
45
65
年龄超过40岁
5
30
35
合计
25
75
100
假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，
则K2＝≈3.297＞2.706.
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关.
(2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ
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的所有取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2).
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
(1)证明 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.
由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，N(1，0，2)，M(2，1，2)，
则BC1＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(－1，0，λ－2).
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当λ＝1时，＝(－1，0，1)，
因为BC1＝(－2，0，2)，所以BC1＝2，
即BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，
且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)解 设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
由得
于是可取n＝(λ，－λ，1).
设平面MNPQ的一个法向量为m＝(x′，y′，z′)，
由得
于是可取m＝(λ－2，2－λ，1).
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±，显然满足0＜λ＜2.
故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.
3.已知数列{an}中，a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2).
(1)求λ的值及数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·(an＋n)，且数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n.
解 (1)∵a1＝1，an＝an－1＋λn－1，
∴a2＝2λ，a3＝5λ－1，由a3＝5λ－1＝9，得λ＝2，
于是an＝an－1＋2n－1，即an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，
an－2－an－3＝2n－5，…，a2－a1＝3，n＞3.
以上各式累加得an＝1＋＝n2，n＞3.
经验证知，a1，a2，a3也满足an＝n2，故an＝n2(n∈N*).
(2)由(1)得bn＝(－1)n·(an＋n)＝(－1)n·n(n＋1)，故S2n＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n－1)·2n＋2n·(2n＋1)
＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n(－2n＋1＋2n＋1)
＝2(2＋4＋6＋…＋2n)＝2·＝2n2＋2n.
4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F1(－，0)，M(1，y)(y＞0)为椭圆上的一点，△MOF1的面积为.
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(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点T在圆x2＋y2＝1上，是否存在过点A(2，0)的直线l交椭圆C于点B，使＝(＋)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解 (1)由椭圆的一个焦点为F1(－，0)知c＝，
即a2－b2＝3. ①
又因为△MOF1的面积为，即××y＝，求得y＝，则M，
代入椭圆方程，得＋＝1. ②
由①②解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)假设存在过点A(2，0)的直线l符合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，
于是可设直线l的方程为y＝k(x－2)，
由
得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0. (*)
解得xB＝，
所以yB＝－，即B.
所以＋＝，
即＝.
因为点T在圆x2＋y2＝1上，
所以＝1，
化简得176k4－24k2－5＝0，解得k2＝，所以k＝±.
经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意.
故存在满足条件的直线l，其方程为y＝±(x－2).
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