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解答题滚动练6
1.已知函数f(x)＝cos 2x＋2sin2x＋2sin x.
(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若x∈，求函数g(x)的值域；
(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，B∈，f(A)＝＋1，a＝2bsin A，求△ABC的面积.
解 f(x)＝cos 2x＋2sin2x＋2sin x＝cos 2x＋(1－cos 2x)＋2sin x＝1＋2sin x.
(1)平移可得g(x)＝2sin＋1，
∵x∈，
∴2x－∈，
当x＝时，g(x)min＝0；
当x＝时，g(x)max＝3，
∴所求值域为[0，3].
(2)由已知a＝2bsin A及正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，
∴sin B＝.
∵0＜B＜，
∴B＝，
由f(A)＝＋1，得sin A＝，
由正弦定理，得a＝＜b，从而A＝，
∴S△ABC＝absin C＝××2×＝.
2.在等差数列{an}中，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
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解 (1)由a1，a2，a5成等比数列知，a＝a1a5，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即d2＝2a1d，
又d≠0，a1＝1，解得d＝2，故an＝2n－1.
(2)bn＝，则Tn＝＋＋＋…＋， ①
由①式两边×，有Tn＝＋＋＋…＋， ②
由①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－⇒Tn＝＋－，
化简得Tn＝1－.
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP＝AB＝AC＝a，AD＝a，PA⊥底面ABCD.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B－AE－D的平面角的余弦值为－？若存在，求出λ＝的值；若不存在，请说明理由.
(1)证明 在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝a，
由勾股定理得CD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC.
(2)解 由(1)知，AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
∴以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，
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则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，D(－a，a，0)，P(0，0，a)，
假设点E(xE，yE，zE)存在，且λ＝，则＝λ，
即(xE，yE－a，zE)＝λ(0，－a，a)，
∴xE＝0，yE＝(1－λ)a，zE＝λa.
∴＝(a，0，0)，＝(0，(1－λ)a，λa)，＝(－a，a，0).
设平面BAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面DAE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
∴n1＝(0，λ，λ－1)，n2＝(λ，λ，λ－1)，
cos 〈n1，n2〉＝＝
＝＝，
由题意|cos〈n1，n2〉|＝，
即＝，
3(2λ2－2λ＋1)＝2(3λ2－2λ＋1)，
∴λ＝.
∴棱PC上存在一点E，使得二面角B－AE－D的平面角的余弦值为－，且此时λ＝.
4.对于函数f(x)和g(x)，若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f(x)≥kx＋m≥g(x)都成立，则称直线y＝kx＋m是函数f(x)，g(x)的分界线.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)(e为自然对数的底数，a∈R为常数).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a＝1，试探究函数f(x)与函数g(x)＝－x2＋2x＋1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f(x)＝ex(ax＋1)，
∴f′(x)＝ex(ax＋a＋1)，
∴当a＝0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上单调递增.
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当a≠0时，f′(x)＝aex，
当a＞0时，在上，f′(x)＜0，
∴f(x)单调递减；
在上，f′(x)＞0，∴f(x)单调递增.
当a＜0时，在上，f′(x)＞0，
∴f(x)单调递增；
在上，f′(x)＜0，∴f(x)单调递减.
(2)假设存在直线y＝kx＋m，使不等式ex(x＋1)≥kx＋m≥－x2＋2x＋1，
当x＝0时，由于1≥m≥1，∴m＝1，
∴kx＋1≥－x2＋2x＋1恒成立，
∴x2＋(k－2)x≥0恒成立.
令Δ＝(k－2)2≤0，解得k＝2，
∴只需不等式ex(x＋1)≥2x＋1恒成立即可.
设h(x)＝ex(x＋1)－2x－1，则h′(x)＝ex(x＋2)－2，
令(h′(x))′＝ex(x＋3)＝0，得x＝－3，
∴当x＜－3时，h′(x)单调递减；当x＞－3时，h′(x)单调递增，且h′(0)＝0，当x→－∞时，h′(x)→－2，
∴当x＜0时，h′(x)＜0，∴h(x)单调递减；
当x＞0时，h′(x)＞0，∴h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(0)＝0.
∴h(x)＝ex(x＋1)－2x－1≥0，
∴不等式ex(x＋1)≥2x＋1恒成立.
综上所述，函数f(x)与函数g(x)存在分界线，其分界线方程为y＝2x＋1.
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