八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案（北师大版）.doc

直角三角形 课题 直角三角形（第一课时） 课型 新授课 教学 目标 1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法， 并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别 两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初 步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力． 重点 难点 重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识 别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 难点：勾股定理及其逆定理的证明方法． 教 具 准备 学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验 用）； 课时 安排 1 课时 教学过程与教学内 容 教学方法与学法 1：创设情境，引入新课 通过问题 1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性 质。 [问题 1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°， AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是 B1、 C1，那么 BC 的长是多少? B1C1 呢? 解：在 Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm， ∴BC＝ 1 2AB＝ 1 2×10＝5 cm． ∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB1 ＝∠A＝30° 在 Rt△ACB1 中，BB1 ＝ 1 2BC ＝ 1 2×5＝ 5 2cm＝2．5 cm． ∴AB1 ＝AB ＝BB1 ＝10—2.5 ＝7.5(cm)． ∴在 Rt△C1AB1 中，∠A＝30° 让学生在回顾的基础上，自主 地寻求命题的证明∴B1C1 ＝ 1 2AB1 ＝ 1 2× 7.5 ＝3.75(cm)． 解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角 形的性 质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而 引入勾股定理及其证明。 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用 公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本 P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出 的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 2：讲述新课 阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第 一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读． （1）．勾股定理及其逆定理的证明． 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：延长 CB 至 D，使 BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取 BE＝c，连接 ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相 等，对应边相等)． ∴四边形 ACDE 是直角梯形． ∴S 梯形 AC DE＝ 1 2(a+b)(a+b) ＝ 1 2(a+b)2． ∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90 °＝90°， AB＝BE． ∴S△ABE＝ 1 2c2 ∵S 梯 形 ACDE ＝ S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴ 1 2(a+b) 2＝ 1 2c2 + 1 2ab + 1 2ab, 即 1 2a2 + ab + 1 2b2＝ 1 2c2 + ab, C A B cb E DC A Ba∴a2+b2＝c2 教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结 论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方． 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方 时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你 能证明此结论吗? 师生共同来完成． 已 知：如图：在△ABC 中，AB2+AC2 ＝BC2 求证：△ABC 是直角三角形． 分析：要从边的关系，推出∠A＝90 °是不容易的，如果能借助于△ABC 与 一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相 等，可证． 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、 AC(如图)， 则 A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)． ∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′ ∴BC2＝B′C′2 ∴BC＝B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS） ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC 是直角三角形． 总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形． （2）．互逆命题和互逆定理． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的 学习中还有类似的命题吗? C A B ' '' C A B通过观察，学生会发现： 上面两个定 理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二 个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”， 交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三 角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一 半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角 边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°”。 3：议一议 观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导 下得出命题与逆命题的区别与联系。 让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清 晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……； 那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。 活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时， 要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观 察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角． 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎． 三角形中相等的边所对的角相等． 三角形中相等的角所对的边相等． 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流． 不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命 题的结论是第一个命题的条件． 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每 组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命 题的真假．逆命题呢? 在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题． 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题． 4：想一想 要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把 结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题． 请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的 逆命题吗?它们都是真命题吗？ 从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并 通过具体的实例说明。 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称 它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理． 能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线 平行，内错角相等” 与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对 应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等． 5：随堂练习 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假 ; (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果 ab＝0，那么 a＝0， b＝0 [分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题 较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一 定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题． 解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题． (2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正． (3)如果 a＝0，6＝0，那么 ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真 命题． 6：课时小结 这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生 活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成 立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能 力． 7：课后作业 习题 1．5 第 1、2、3、4 题 板 书 1、 勾股定理及逆定理的证明。 2、 互逆命题：课题 直角三角形（第二课时） 课型 新授课 教学 目标 1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必 要性②利用“HL’’定理解决实际问题 2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 重点 难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的 思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 教具 准备 学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验 用）； 课时 安排 1 课时 教学过程与教学内容 教学方法与学法 1：复习提问 1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？ 2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同 学们相互交流。 3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其 中一个角是直角呢？请证明 你的结论。 我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底 边上的中线或 顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等 角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”． 要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC 中， AB=AC． 求证：∠B=∠C． 证明：过 A 作 AD⊥BC，垂足为 C， ∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 让学生在回顾的基础上， 自主地寻求命题的证明在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点 在于“在证明△ABD≌△ACD 时，用了“两边及其中一边的对角对相等的 两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如 果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画 图说明．(如图所示在 ABD 和△ABC 中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD 与△ABC 不全等)” ． 也有学生认同上述的证明。 教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对 的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入 新课。 2：引入新课 （1）．“HL”定理．由师生共析完成 已知：在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′， BC=B′C′． 求 证 ： Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ 证明：在 Rt△ABC 中，AC=AB2 一 BC2(勾股定理)． 又∵ 在 Rt△ A' B' C' 中，A' C' =A'C'=A'B'2 一 B'C'2 ( 勾股 定理)． AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)． 教师用多媒体演示： 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直 角边”或“HL”表示． 从而肯定了第一位同学通过作底边 的高证明两个三角形全等，从而得到 “等边对等角”的证法是正确的． A' B' C'CB A E2 1 B D CA 练习：判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角 形全等． 对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在 了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持， 教师引导学生证明． 已知：R△ABC和 Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D' 分别是 AC、A'C' 边上的中线且 BD—B'D' (如图)． 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：在 Rt△BDC 和 Rt△B'D'C'中， ∵BD=B'D',BC=B'C', ∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL 定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴ AC=A'C'． ∴在 Rt△ABC 和 Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '， ∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)． 通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错， 教师最后再总结。 3：做一 做 问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺 操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法． （设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教 学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将 推理证明过程写出来。） 4：议一议 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件? 'D A' B' C'C D B A把它们分别写出来． 这是一个 开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已 学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学 之间的交流，获得各种 不同的答案． (教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出 挑战) 5： 例题学习 如 图 ， 在 △ABC≌△A'B'C' 中，CD ， C'D' 分别分别是高，并且 A C ＝ A'C' ， CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B '． 求证：△ABC≌△A'B'C'． 分析：要证△ABC≌△A'B'C' ，由已知中找到条件：一组边 AC=A'C'， 一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用 ASA 证明全等；也可 以寻求么∠B=∠B'，这样就有 AAS；还可寻求 BC=B'C'，那么就可根据 SAS．……注意到题目中，通有 CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察 图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了 HL 定理的条件， 可证的 Rt△ADC≌Rt△A'D 'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行． 证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)， ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在 Rt△ADC 和 Rt△A'D'C'中， AC=A'C'(已知)， CD=C'D' (已知)， ∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC 和△A'B'C'中， ∠A=∠A' (已证)， 'CC A D B'' 'BDAAC=A'C' (已知)， ∠ACB=∠A'C'B' (已知)， ∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)． 6：课时小结 本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两 个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等 的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL 定理，并用此定理 安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方 法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值 得继续发扬广大． 7：课后作业 习题 1．6 第 3、4、5 题 板 书 1、 作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角” 2、 判定直角三角形全等的特殊方法——HL 定理 3、 例题讲解 4、 随堂练习