3．公式法
第 1 课时
一、教学目标
1．知识与技能
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解.
2．过程与方法
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的互逆、换元、整
体的思想，感受数学知识的完整性．
3．情感态度及价值观
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想
法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
二、教学重点、难点
重点：用平方差公式进行因式分解.
难点：揭示平方差公式的结构特征和平法差公式的灵活运用.
三、教具准备
课件.
四、教学过程
填空：
（1）（x+5）（x–5） = ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维
能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一
（二）探究新知
1.多媒体出示，让学生观察、讨论，得出结论.
.____________________49
_;____________________9
__;____________________25
22
22
2
=−
=−
=−
nm
yx
x结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认
识学习新的分解因式的方法——公式法.
注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可.
2.找特征： .
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成两个数的平方差的形式.
(2)公式右边:（是分解因式的结果）.
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.
3.试一试
（多媒体出示）下列多项式能转化成两个数的平方差的形式吗？如果能，请将其转化成两个数的平
方差的形式.
（1）m2-81；（2）1-16b2；（3）4m2+9；（4）a2x2-25y2；（5）-x2-25y2.
让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习.
注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论.同时要求学生对于不能利
用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释.
（三）范例讲解
例 1 把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 ； （2）9a2–
.
教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例.
))((22 bababa −+=−
2
4
1 b注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．
（四）练习
1.判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y). ( )
（2）x2–y2=（x+y）(x–y) . ( )
（3）–x2+y2=–（x+y）(x–y). ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) . ( )
2.把下列各式因式分解：
（1）-9+4x2；
（3）0.25q2-121p2； （4）p4-1.
通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因
式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
（五）能力提升
1.把下列各式因式分解：
； ； .
2.简便计算：
（六）课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的 a 与 b 既可以是单项式，又可以是多项式；
（七）教学反思
探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：
（1）本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间
和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，
同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
（2）有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习
数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，
提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
222
4
1)2( zyx −
2)2(25
4)1( nm −− 22 )()(9)2( nmnm −−+ 23 94)3( xyx −（3）保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练.
第 2 课时
一、教学目标
1．知识与技能
（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；
（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方
公式进行分解因式．
2．过程与方法
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思
维和推理能力.
3．情感态度及价值观
培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.
二、教学重点、难点
重点：用完全平方公式进行因式分解.
难点：揭示完全平方公式的结构特征和选用合适的方法进行因式分解.
三、教具准备
课件.
四、教学过程
（一）复习回顾
回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．
在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．
（二）学习新知总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如 的多项式称为完全平方式．
注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，
如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公
式法.
（三）落实基础
1．判断下列各式是不是完全平方式．
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解：a2–2ab+b2=（a–b）2 ；a2+2ab+b2=（a+b）2.
加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式作铺垫．
（四） 范例讲解
例 1 把下列各式因式分解：
22 2 baba +±
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(1)
(2) 2
(3) 2
(4) 2
(5) 2
x y
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
+
+ +
− +
+ −
− + −
；
；
；
；
．
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 2
1 _____
2 4 9 ______
3 _____ 4
14 _____ 4
5 2 _____
x y
a b
x y
a b
x x y
+ +
+ +
− +
+ +
+ +
；
；
；
；
．
4914)1( 2 ++ xx ； .
教师引导，师生共同完成.让学生理解在完全平方公式中的 a 与 b 不仅可以表示单项式，也可以表
示多项式．
例 2 把下列各式因式分解：
； .
对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生
清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解
因式．
在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；
（2）再用公式法进行因式分解.
（五） 随堂练习
1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 a、b 各表示什么？
2.把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2； （2）16a4+24a2b2+9b4；
(3）–2xy–x2–y2 ； （4）4–12（x–y）+9（x–y)2.
3.用简便方法计算：
4.一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论 x 取何值,这个代数式的值都是
正值,你不信试一试?”
（六）课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全
平方公式与乘法公式有什么关系？
学生认识到了以下事实：
22 2003200340102005 +×−
22 9124)2( baba +−
9)(6))(3( 2 ++−+ nmnm 22 )())(2(2)2)(4( nmnmmnnm +++−−−
xyyx 44)2( 22 +−−22 363)1( ayaxyax ++
2
2
2
2
2
2 2
(1) 6 9
(2) 1 4
(3) 2 4
(4) 4 4 1
(5) 1 4
(6) 4 12 9
x x
a
x x
x x
m m
y xy x
− +
+
− +
+ −
+ −
− +
；
；
；
；
；
．（七）教学反思
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用
该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的 2 倍，具体应用
时要特别关注第二项的符号.
把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，
直到最终结果再也不能分解因式为止.
运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高.本节
课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃
力.同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学
生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的.
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