5 一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1. 知识与技能：
（1）理解一次函数与一元一次不等式的关系，掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的
方法；
（2）能初步应用不等式、函数知识进行拓展，解决实际问题，建立函数关系模型，掌握分
析技巧，最后建立不等式来解决问题．
2.过程与方法
渗透由特殊到一般和转化的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．
3.情感态度及价值观
培养积极大胆的探究意识和用函数观点认识问题的良好学习意识．
二、教学重点、难点
重点：（1）用函数的知识求一元一次不等式的解集；
（2）初步掌握借助函数关系建立不等式的方法．
难点：（1）一次函数图象与一元一次不等式的关系；
（2）建立函数关系模型中的量与量之间的关系．
三、教具准备
课件.
四、教学过程
（一）创设情景，导入新课
大家对一次函数与一元一次方程之间的联系都有了一定的了解，通过一次函数的图象，我们
可以直接看出对应的一元一次方程的解．那么，一次函数与一元一次不等式又有何关系呢？
我们能否通过看一次函数的图象得到一元一次不等式的解集呢？这就是我们今天要探讨的
内容．
（二）合作交流，解读探究
1.一次函数与一元一次不等式的关系.
图5-1
﹝多媒体出示﹞已知函数 的图象如图5-1，根据图象回答：62 +−= xy
x
y
O
6
3
62 +−= xy当x_______时，y＝0，即方程﹣2x＋6＝0的解为_______；
当x_______时，y＞0，即不等式﹣2x＋6＞0的解集为_______；
当x_______时，y＜0，即不等式﹣2x＋6＜0的解集为_______．
师﹝概括﹞：任何一元一次不等式都可以化为 或 (a、b为常数且a≠0)
的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值
范围；或者看作：当一次函数图象在x轴上(下)方时，求自变量的取值范围．
（三）例题分析
例 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6 000元，
并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25
％．乙商场的优惠条件是：每台优惠20％．
（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式．
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？
教师活动：参与学生讨论、交流．
学生活动：小组合交流探索．
教学方法：师生共同探究．
解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2
元．则有(1)y1＝6 000＋(1－25%)(x－1)×6 000＝4 500x＋1 500.
y2＝80%×6 000x＝4 800x.
(2)当y1＜y2时，有4 500x＋1 500＜4 800x
解得x＞5.
故当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠.
(3)当y1＞y2时，有4 500x＋1 500＞4 800x.
解得x＜5．
故当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠.
（四）应用迁移，巩固提高
1.根据函数图象直接写出不等式的解集．
图5-2 图5-3
0＞bax + 0＜bax +解：（1）kx＋b＜0的解集；（2）﹣ x－2＞0的解集．
2.根据上面两个一次函数的图象，你还能求出哪些不等式的解集？并直接写出相应的不等式
的解集．
3.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利
15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要
付出仓储费用700元．请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2
元，根据题意，得
y1＝15%x＋(x＋15%x)·10%＝0.265x，
y2＝30%x－700＝0.3x－700．
(1)当y1＞y2，即0.265x＞0.3x－700时，x＜20 000；
(2)当y1＝y2，即0.265x＝0.3x－700时，x＝20 000；
(3)当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20 000．
所以，当投入资金不超过20 000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20 000元
时，第二种销售方式获利较多．
4.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后
2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10－3毫克)，接着逐步衰减，10小时时
血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y(微克)，随着时间x(小时)的变化如图
5-4(成人按规定服药后)．
(1)分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
(2)根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，
那么这个有效时间是多少？
图5-4
解：(1)当x≤2时，图象过(0，0)，(2，6)点，设y1＝k1x，
把(2，6)代入得，k1＝3.
∴y1＝3x．
当x≥2时，图象过(2，6)，(10，3)点．
3
2设y2＝k2x＋b，则有 ，
得k2＝－ ，b＝ .
∴y2＝－ x＋ .
(2)过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1，y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂
线，对应x轴上的 和 ，即在 － ＝6小时间是有效的．
（五）课堂小结
本节课学习的数学知识是一次函数与一元一次不等式的关系．
(1)若方程 (a、b为常数且a≠0)的解为 ，那么不等式 (或
)(a≠0)的解集就是一次函数 (a≠0)函数值大于0(或小于0)时 x的取
值范围．
(2)若解不等式ax＋b＞cx＋d(或ax＋b＜cx＋d)(a、b、c、d为常数，且a、c都不为0)则可化
为最简一元一次不等式，再利用一次函数图象求解；也可两边分别看成一次函数、利用图象
求解．
（六）教学反思
=+
=+
310
62
2
2
bk
bk
8
3
4
27
8
3
4
27
3
4
3
22
3
22
3
4
0=+ bax b
ax −= 0＞bax +
0＜bax + baxy +=
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