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第七单元 图形的变化
第 27 课时 图形的平移、对称、旋转与相似
基础达标训练
1. 关注传统文化甲骨文是中国的一种古代文字,是汉字的早期形式,
下列甲骨文中,是轴对称图形的是( )
2. (2017 无锡)下列图形中,是中心对称图形的是( )
3. (2017 广东省卷)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对
称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 平行四边形
C. 正五边形 D. 圆
4. (2017 枣庄)将数字“6”旋转 180°,得到数字“9”;将数字“9”
旋转 180°,得到数字“6” .现将数字“69”旋转 180°,得到的
数字是( )
A. 96 B. 69 C. 66 D. 99
5. (2017 天津)如图,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△DBE,点
C 的对应点 E 恰好落在 AB 的延长线上,连接 AD,
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第 5 题图
下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD=∠E
B. ∠CBE=∠C
C. AD∥BC
D. AD=BC
6. (2017 烟台)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为 1,
△AOB 与△A′OB′是以原点 O 为相似中心的相似图形,且相似比为
3∶2,点 A,B 都在格点上,则点 B′的坐标是________.
第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图
7. (2017 兰州)如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似,相似中心
是点 O,OE
OA=3
5,则FG
BC=________.
8. (2017 山西)如图,已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0,4),
B(-1,1),C(-2,2).将△ABC 向右平移 4 个单位,得到△A′B′C′,
点 A,B,C 的对应点分别为 A′,B′,C′,再将△A′B′C′绕点
B′顺时针旋转 90°,得到△A″B″C″,点 A′,B′,C′的对应
点分别为 A″,B″,C″,则点 A″的坐标为________.
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9. (2017 黄冈)已知:如图,在△AOB 中,∠AOB=90°,AO=3 cm,
BO=4 cm,将△AOB 绕顶点 O,按顺时针方向旋转到△A1OB1 处,此时
线段 OB1 与 AB 的交点 D 恰好为 AB 的中点,则线段 B1D=________ cm.
第 9 题图 第 10 题图
10. (2017 随州)如图,∠AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合,点 P 是
OA 上的一动点,点 N(3,0)是 OB 上的一定点,点 M 是 ON 的中点,
∠AOB=30°,要使 PM+PN 最小,则点 P 的坐标为________.
11. (8 分)(2017 衡阳)如图,方格图中每个小正方形的边长为 1,
点 A、B、C 都是格点.
(1)画出△ABC 关于直线 BM 对称的△A1B1C1;
(2)写出 AA1 的长度.
第 11 题图
12. (8 分)(2017 安徽)如图,在边长为 1 个单位长度的小正方形组
成的网格中,给出了格点△ABC 和△DEF(顶点为网格线的交点),以
及过格点的直线 l.
(1)将△ABC 向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画
出平移后的三角形;
(2)画出△DEF 关于直线 l 对称的三角形;
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(3)填空:∠C+∠E=________°.
第 12 题图
13. (8 分)(2017 梅溪湖中学月考)如图,在平面直角坐标系中,已
知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).
(1)画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到△A1B1C1;
(2)以原点 O 为相似中心,在图中画出将△A1B1C1 三条边放大为原来
的 2 倍后的△A2B2C2,并写出 A2、B2、C2 的坐标.
第 13 题图
能力提升训练
1. (2017 天水)下列给出的函数中,其图象是中心对称图形的是
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( )
①函数 y=x;②函数 y=x2;③函数 y=1
x
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. 都不是
2. (2017 株洲)如图,点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四条边 AB、
BC、CD、DA 的中点,则关于四边形 EFGH,
第 2 题图
下列说法正确的是( )
A. 一定不是平行四边形
B. 一定不是中心对称图形
C. 可能是轴对称图形
D. 当 AC=BD 时,它为矩形
3. (2017 河北)图①和图②中所有的小正方形都全等,将图①的正
方形放在图②中①②③④的某一位置,使它与原来 7 个小正方形组
成的图形是中心对称图形,这个位置是( )
第 3 题图
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. (9 分)(2017 襄阳)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是中线,
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AC=BC.一个以点 D 为顶点的 45°角绕点 D 旋转,使角的两边分别与
AC,BC 的延长线相交,交点分别为点 E,F, DF 与 AC 交于点 M,DE
与 BC 交于点 N.
(1)如图①,若 CE=CF,求证:DE=DF;
(2)如图②,在∠EDF 绕点 D 旋转的过程中:
①探究三条线段 AB,CE,CF 之间的数量关系,并说明理由;
②若 CE=4,CF=2,求 DN 的长.
第 4 题图
答案
1. C 【解析】轴对称图形即将一个图形沿一条直线折叠,直线两
旁的部分完全重合,由此可知,只有 C 选项是轴对称图形.
2. C 【解析】A,B,D 是轴对称图形,不是中心对称图形,C 既是
轴对称图形,也是中心对称图形.
3. D 【解析】等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;平
行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;正五边形是轴对称图
形,不是中心对称图形;圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4. B 【解析】将两位数“69”看作整体,旋转 180°,得到的数
字是 69.
5. C 【解析】根据旋转的性质得∠C=∠E,AB=BD,∠ABC=∠EBD,
∴∠ABC-∠DBC=∠EBD-∠DBC,即∠ABD=∠EBC=60°,∵AB=
BD,∴△ABD 是等边三角形,∴∠DAB=60°,AD=AB=BD,∴∠DAB
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=∠EBC=60°,∴AD∥BC.
6. (-2,4
3) 【解析】由题图可知点 B(3,-2),相似比 3∶2,则
点 B′的横坐标-(3×2
3)=-2,纵坐标-(-2×2
3)=4
3,∴点 B′的
坐标是(-2,4
3 ).
7. 3
5 【解析】∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似,且相似中心为
O 点,OE
OA=3
5,∴相似比是3
5,而 FG 和 BC 分别是对应边,∴FG
BC=3
5.
8. (6,0) 【解析】如解图,点 A(0,4),B(-1,1)向右平移 4
个单位得点 A′(4,4),B′(3,1),再绕点 B′顺时针旋转 90°得
点 A″(6,0).
9. 3
2 【解析】∵∠AOB=90°,AO=3 cm,OB=4 cm,∴AB= AO2+OB2
=5 cm,∵△A1OB1 是由△AOB 旋转得到的,∴OB=OB1=4 cm,∵D
为Rt△AOB 中AB边上的中点,∴OD=1
2AB=5
2,∴B1D=OB1-OD=3
2 cm.
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10. (3
2, 3
2 ) 【解析】如解图,设点 M 关于 OA 的对称点为 M′,
过点 M′作 M′C⊥x 轴,垂足为点 C.连接 M′N 交 OA 与点 P,连接
MP.由对称点的性质可知:PM′=PM,∠BOA=∠M′OA=30°.∴∠
M′OC=60°,∵点 M 与点 M′关于 OA 对称,∴OA 垂直平分 MM′,
∴OM=OM′,∴MP+PN=PM′+PM,即当点 M′、P、N 在一条直线
上时,PM+PN 最小,∵N(3,0),M 为 ON 的中点,
∴OM′=OM=3
2,∴OC=3
4,CM′=3 3
4 .设直线 M′N 的解析式为 y
=kx+b(k≠0),将点 M′和点 N 的坐标代入得:
3k+b=0
3
4k+b=3 3
4
,解得
k=- 3
3 ,b= 3,∴M′N 的解析式为 y=- 3
3 x+ 3,∵∠AOB=
30°,∴直线 OA 的解析式为 y= 3
3 x,将 y=- 3
3 x+ 3与 y= 3
3 x
联立,解得:x=3
2,y= 3
2 ,∴点 P 的坐标为(3
2, 3
2 ).
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11. 解:(1)如解图所示;
(2)如解图可知 AA1=10.
12. 解:(1)如解图所示;
(2)如解图所示;
(3)45.
【解法提示】根据平移和轴对称变换不改变图形的形状和大小,
∴∠C+∠E=∠A′C′F′,
∵△A′C′F′在边长为 1 个长度单位的小正方形组成的网格中的
格点三角形,则 A′C′= 5,A′F′= 5,F′C′= 10,A′C′
2+A′F′2=F′C′2,
∴△A′C′F′是直角三角形,
又∵A′C′=A′F′,
∴△A′C′F′是等腰直角三角形,
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∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°.
13. 解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求;
(2)如解图,△A2B2C2 即为所求,点 A2、B2、C2 的坐标分别为 A2(-2,
4),B2(2,8),C2(6,6).
能力提升训练
1. C 【解析】函数 y=x 与 y=1
x的图象关于原点中心对称,则其
图象是中心对称图形,函数 y=x2 关于 y 轴对称,其图象是轴对称图
形.
2. C 【解析】连接 BD,则 GF 是△CDB 的中位线,∴GF 平行且等
于 DB 的一半,同理,EH 平行且等于 DB 的一半,∴GF 平行且等于
EH,∴四边形 EFGH 是平行四边形,∴A 错误;平行四边形是中心对
称图形,∴B 错误;当 AC=BD 时,平行四边形 EFGH 是菱形,菱形
是轴对称图形,∴C 正确;当 AC=BD 时,平行四边形 EFGH 是菱形,
不一定是矩形,∴D 错误.
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3. C 【解析】将图形绕着某个点旋转 180°后,能够与本身重合
的图形就是中心对称图形,只有将小正方形放在③的位置才能使它
与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形.
4. (1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,
∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,
∴∠BCD+∠BCE=∠ACD+∠ACF,即∠DCE=∠DCF=135°,
又∵CE=CF,CD=CD,
∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF;
(2)解:①AB2=4CE·CF.理由如下:
∵∠DCF=∠DCE=135°,
∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°,
又∵∠CDF+∠CDE=45°,
∴∠F=∠CDE,
∴△CDF∽△CED,
∴CD
CE=CF
CD,即 CD2=CE·CF,
∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CD=1
2AB,
∴AB2=4CE·CF;
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②如解图,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,则∠DGN=∠ECN=90°,CG=
DG,
当 CE=4,CF=2 时,由 CD2=CE·CF,
得 CD=2 2,
在 Rt△DCG 中,CG=DG=CD·sin∠DCG=2 2×sin45°=2,
∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,
∴△CEN∽△GDN,
∴CN
GN=CE
DG=4
2=2,
∴GN=1
3CG=2
3,
∴DN= GN2+DG2= (2
3)2+22=2 10
3 .
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第七单元 图形的变化
第 28 课时 视图与投影
1. (2017 桂林)如图所示的几何体的主视图是( )
2. (2017 宁波)如图所示的几何体的俯视图为( )
3. (2017 安徽)如图,一个放置在水平实验台上的锥形瓶,它的俯
视图为( )
4. (2017 广安)如图所示的几何体,上下部分均为圆柱体,其左视
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图是( )
5. 关注传统文化(2017 永州)湖南省第二次文物普查时,省考古研
究所在冷水滩钱家州征集到一个宋代“青釉瓜棱形瓷执壶”(如图
所示),该壶为盛酒器,瓷质,侈口,喇叭形长颈,长立把,则该“青
釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是( )
6. (2017 济宁)下列几何体中,主视图、俯视图、左视图都相同的
是( )
7. (2017 娄底)如图的几何体中,主视图是中心对称图形的是( )
8. (2017 河北)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体,
它的主视图是( )
第 9 题图
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9. (2017 舟山)一个立方体的平面展开图如图所示,将其折叠成立
方体后,“你”字对面的字是( )
A. 中 B. 考 C. 顺 D. 利
10. (2017 南雅中学第七次阶段检测)如图表示一个由相同小立方块
搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上小立方块
的个数,那么该几何体的主视图为( )
第 11 题图
11. (2017 荆门)已知:如图,是由若干个大小相同的小正方体所搭
成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是
( )
A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个
12. (2017 连云港)由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,
比较它的主视图、左视图和俯视图的面积,则( )
A. 三个视图的面积一样大
B. 主视图的面积最小
C. 左视图的面积最小
D. 俯视图的面积最小
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第 12 题图 第 13 题图
13. (2017 青岛)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正
六边形,则该几何体的表面积为________.
答案
1. A 2. D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. C 8. A 9. C
10. A 【解析】由几何体的俯视图可知,该几何体的主视图从左到
右依次是由 2 个,3 个,2 个正方形构成.
11. B 【解析】根据三视图可知其摆放如解图所示, 共有 7 个小
正方体.
12. C 【解析】∵几何体的主视图、左视图、俯视图分别是由 5 个、
3 个、4 个正方形构成,∴面积最小的为左视图.
13. 12 3+48 【解析】由三视图可知,该几何体是正六棱柱,其
中底面正六边形外接圆的直径为 4,则正六边形的边长为 2,故底面
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正六边形的面积为 6× 3
4 ×22=6 3,正六棱柱的高为 4,则侧面积
为 2×4×6=48,∴该正六棱柱的表面积为 12 3+48.
第七单元 图形的变化
第 29 课时 尺规作图
1. (2017 随州)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB 的第一步是以点
O 为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交 OA、OB 于点 E、F,那么
第二步的作图痕迹②的作法是( )
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第 1 题图
A. 以点 F 为圆心,OE 长为半径画弧
B. 以点 F 为圆心,EF 长为半径画弧
C. 以点 E 为圆心,OE 长为半径画弧
D. 以点 E 为圆心,EF 长为半径画弧
2. (2017 衢州)下列四种基本尺规作图分别表示:①作一个角等于
已知角;②作一个角的平分线;③作一条线段的垂直平分线;④过
直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. (2017 河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=________°.
第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图
4. (2017 邵阳)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:
①在 OA,OB 上分别截取线段 OD,OE,使 OD=OE;
②分别以 D,E 为圆心,以大于 1
2DE 的长为半径画弧,在∠AOB 内两
弧交于点 C;
③作射线 OC.
则∠AOC 的大小为________.
5. (2017 成都)如图,在▱ ABCD 中,按以下步骤作图:①以 A 为圆
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心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AD 于点 M,N;②分别以 M,N
为圆心,以大于 1
2MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 P; ③作射线
AP,交边 CD于点 Q,若DQ=2QC,BC=3,则▱ ABCD 的周长为__________.
6. (8 分)(2017 泰州)如图,△ABC 中,∠ACB>∠ABC.
(1)用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线 CM,使∠ACM=∠ABC;
(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)若(1)中的射线 CM 交 AB 于点 D,AB=9,AC=6,求 AD 的长.
第 6 题图
7. (8 分)(2017 广东)如图,在△ABC 中,∠A>∠B.
(1)作边 AB 的垂直平分线 DE,与 AB、BC 分别相交于点 D、E(用尺规
作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,连接 AE,若∠B=50°,求∠AEC 的度数.
第 7
题图
8. (9 分)(2017 南京)“直角”在初中几何学习中无处不在.
如图①,已知∠AOB,请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断
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∠AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规).
小丽的方法
如图②,在 OA、OB 上分别取点 C、D,以 C 为圆心,CD 长为半径画
弧,交 OB 的反向延长线于点 E.若 OE=OD.则∠AOB=90°.
第 8 题图① 第 8 题图
②
答案
1. D 【解析】设弧①与弧②的交点为点 G,由解图可知,当
△EOG≌△EOF 时,∠AOC=∠AOB,要使△EOG≌△EOF,则 EG=EF,
∴以点 E 为圆心,EF 长为半径画弧可使得 EG=EF,∴第二步的作图
痕迹的作法是以点 E 为圆心,EF 长为半径画弧.
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2. C 【解析】③根据其作法确定的点只有一个,而必须是两点才
能确定一条直线,因此③是错误的.
3. 56 【解析】如解图,由作图痕迹可知,AG 是∠CAD 的平分线,
EF 是 AC 的垂直平分线,点 I 为 AG 与 EF 的交点,∵四边形 ABCD 是
矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB=68°,∵AG 是∠CAD 的平分线,
∴∠CAG=1
2∠CAD=34°,∵EF 是 AC 的垂直平分线,∴∠AHE=90°,
∴∠α=∠AIH=90°-∠CAG=56°.
4. 20° 【解析】根据作图步骤可知,射线 OC 为∠AOB 的平分线,
则∠AOC=1
2∠AOB=20°.
5. 15 【解析】由题意可知,AQ 平分∠DAB,即∠DAQ=∠BAQ,∵
四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD=BC,DC=AB,DC∥AB,∴∠DQA
=∠BAQ=∠DAQ,∴DQ=AD,∵BC=3,∴DQ=AD=BC=3,∵DQ=
2QC,∴QC=1.5,∴CD=DQ+QC=4.5,∴平行四边形 ABCD 的周长
为 2(AD+CD)=2×(3+4.5)=15.
6. 解:(1)如解图所示,CM 即为所求;
(2)在△ACD 和△ABC 中,
∠ACM=∠ABC
∠A=∠A ,
∴△ACD∽△ABC,
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∴AD
AC=AC
AB,
∵AB=9,AC=6,
∴AD=4.
7. 解:(1)如解图,DE 是边 AB 的垂直平分线;
(2)如解图,连接 AE,
∵DE 是 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B=50°,
∵∠AEC 是△ABE 的外角,
∴∠AEC=∠BAE+∠B=100°.
8. 解:方法一:如解图①,在 OA、OB 上分别截取 OC=4,OD=3,
若 CD=5,则∠AOB=90°.
方法二:如解图②,在 OA、OB 上分别取点 C、D,以 CD 为直径画圆.若
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点 O 在圆上,则∠AOB=90°.