一、选择题（10×3=30 分）
1. （甘肃天水，第 10 题，4 分）定义运算：a
⊗
b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2
⊗（﹣2）=6，②a
⊗
b=b
⊗
a，③若 a+b=0，则（a
⊗
a）+（b
⊗
b）=2ab，④若 a
⊗
b=0，则 a=0 或 b=1，其中结
论正确的序号是（ ）
A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
分析： 各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
解：根据题意得：2
⊗
（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a
⊗
b=a（1﹣b）=a﹣ab，b
⊗
a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
（a
⊗
a）+（b
⊗
b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；
若 a
⊗
b=a（1﹣b）=0，则 a=0 或 b=1，选项④正确，
故选 A
2. （台湾，第 23 题 3 分）若有一等差数列，前九项和为 54，且第一项、第四项、七项的和为 36，则此等
差数列的公差为何？( )
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用．学科#网
3. （湖北荆门,第 8 题 3 分）如图，电路图上有四个开关 A、B、C、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或同时闭
合开关 A、B、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. （2018•达州•3 分）平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（m，n），则向量 可以用点 P 的坐标表示为 =
（m，n）；已知 =（x1，y1）， =（x2，y2），若 x1x2+y1y2=0，则 与 互相垂直．
下面四组向量：① =（3，﹣9）， =（1，﹣ ）；
② =（2，π0）， =（2﹣1，﹣1）；
③ =（cos30°，tan45°）， =（sin30°，tan45°）；
④ =（ +2， ）， =（ ﹣2， ）．
其中互相垂直的组有（ ）
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
【解答】解：①∵3×1+（﹣9）×（﹣ ）=6≠0，
∴ 与 不垂直．
②∵2×2﹣1+π0×（﹣1）=0，
∴ 与 垂直．
【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
5. （2016·浙江省绍兴市·4 分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记
录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子
自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【考点】用数字表示事件．
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数
×72+十位上的数×7+个位上的数．
【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选 C．
6. （永州，第 10 题 3 分）定义[x]为不超过 x 的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=
﹣4．对于任意实数 x，下列式子中错误的是（ ）
A. [x]=x（x 为整数） B. 0≤x﹣[x]＜1 C. [x+y]≤[x]+[y] D. [n+x]=n+[x]（n 为整数）
解：A、∵[x]为不超过 x 的最大整数，
∴当 x 是整数时，[x]=x，成立；
B、∵[x]为不超过 x 的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]=n+[x]（n 为整数），成立；
故选：C．
7. （2018·四川巴中·3 分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运
动，当球运动的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高
度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是 y=﹣ x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是 2m
【知识点】二次函数与体育结合.
B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D.设这次跳投时，球出手处离地面 hm，
因为（1）中求得 y=﹣0.2x2+3.5，
∴当 x=﹣2.5 时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面 2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
8. （2016·四 川 宜 宾 ） 规 定 ： log a b（ a＞ 0， a≠1， b＞ 0） 表 示 a， b 之 间 的 一 种 运 算 ．
现 有 如 下 的 运 算 法 则 ： log n a n =n． log N M= （ a＞ 0， a≠1， N＞ 0， N≠1， M＞ 0）．
例 如 ： log 2 2 3 =3， log 2 5= ， 则 log 10 0 1000 的 值 为 （ ）．
A． 1
2
B． 3
2
C． 2
3
D． 3
4
9.（浙江省湖州市·3 分）定义：若点 P（a，b）在函数 y= 的图象上，将以 a 为二次项系数，b 为一次项
系数构造的二次函数 y=ax2+bx 称为函数 y= 的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数 y= 的图象
上，则函数 y=2x2+ 称为函数 y= 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧
（2）函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（ ）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
【分析】（1）根据二次函数 y=ax2+bx 的性质 a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号对称轴在 y 轴右侧即
可判断．
（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0 时，y=0，经过原点，不能得出结论．
10. 已知函数
2
2
1 1 3
5 1 3
x x
y
x x
≤
＞
，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】函数 的图象如图：
根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，
∴k=3．故选 D．
二、填空题（6×4=24 分）.
11. （2017 深圳）阅读理解：引入新数 i，新数 i 满足分配律，结合律，交换律，已知 i2=﹣1，那么（1+i）
•（1﹣i）= ．
【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．
【分析】根据定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2
故答案为：2
12. （2018•上海•4 分）如图，已知平行四边形 ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线
交于点 F．设 =， =那么向量 用向量、表示为 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DC=BF，故 AF=2AB=2DC，结合三
角形法则进行解答．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形
法则的应用是关键．学科#网
13. （2014•广东梅州,第 13 题 3 分）如图，弹性小球从点 P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰
到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第 2 次碰到
矩形的边时的点为 P2，…，第 n 次碰到矩形的边时的点为 Pn，则点 P3 的坐标是 ；点 P2014 的坐标
是 ．
14. （广西崇左第 18 题 3 分）4 个数 a，b，c，d 排列成 ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法
则为： =ad﹣bc．若 =12，则 x= ．
【解析】 =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1.
点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义
的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转
化为解方程确定结果.
15. （ 2016.山 东 省 临 沂 市 ，3 分 ）一 般 地 ，当 α、β为 任 意 角 时 ，sin（ α+β）与 sin（ α
﹣ β） 的 值 可 以 用 下 面 的 公 式 求 得 ： sin（ α+β） =sinα•cosβ+cosα•sinβ； sin（ α﹣
β） =sinα•cosβ﹣ cosα•sinβ． 例 如 sin90°=sin（ 60°+30°）
=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1． 类 似 地 ， 可 以 求 得 sin15°的 值
是 ．
【 考 点 】 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ： 应 用 中 要 熟 记 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 一 是 按 值
的 变 化 规 律 去 记 ， 正 弦 逐 渐 增 大 ， 余 弦 逐 渐 减 小 ， 正 切 逐 渐 增 大 ； 二 是 按 特 殊 直 角 三 角 形
中 各 边 特 殊 值 规 律 去 记 ． 也 考 查 了 阅 读 理 解 能 力 ．
16. （四川乐山·3 分）高斯函数 x ，也称为取整函数，即 x 表示不超过 x 的最大整数.
例如： 2.3 2 ， 1.5 2 .
则下列结论：
① 2.1 1 2 ；
② 0x x ；
③ 若 1 3x ，则 x 的取值范围是 2 3x ；
④ 当 1 1x 时， 1 1x x 的值为 0 、1、 2 .
其中正确的结论有___ __（写出所有正确结论的序号）.
答案：①③
三、解答题（共 46 分）.
17. （2018•四川凉州•4 分）我们常用的数是十进制数，如 4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用 10
个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0 和
1，如二进制中 110=1×22+1×21+0×20 等于十进制的数 6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 等
于十进制的数 53．那么二进制中的数 101011 等于十进制中的哪个数？
【分析】利用新定义得到 101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．
【解答】解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，
所以二进制中的数 101011 等于十进制中的 43．
【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方．
18. （湖北黄石,第 20 题 8 分）解方程： ．
分析： 先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出 x，把 x 的值代入方
程组的第二个方程，即可求出 y．
解： ，
由方程 x﹣2y=2 得：4y2=15x2﹣60x+60（3），
将（3）代入方程 5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，
解此方程得：x=2 或 x=4，
代入 x﹣2y=2 得：y=0 或 ，
即原方程组的解为 或 ．
点评： 本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于 x 定的一元二次方程，题目比较好，
难度适中．
19. （甘肃白银、临夏,第 20 题 6 分）阅读理解：
我们把 称作二阶行列式，规定他的运算法则为 =ad﹣bc．如 =2×5﹣3×4=﹣2．
如果有 ＞0，求 x 的解集．
20. （2015•甘肃庆阳，第 27 题，12 分）定义运算 max{a，b}：当 a≥b 时，max{a，b}=a；当 a＜b 时，max{a，
b}=b．如 max{﹣3，2}=2．
（1）max{ ，3}= ；
（2）已知 y1= 和 y2=k2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若 max{ ，k2x+b}= ，结合图象，直接写
出 x 的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求 max{2x+1，x﹣2}的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据 3＞ 和已知求出即可；
（2）根据题意得出 ≥k2x+b，结合图象求出即可；
（3）分为两种情况：当 2x+1≥x﹣2 时，当 2x+1＜x﹣2 时，结合已知求出即可．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．学科#网
21. （2016·山东省济宁市·3 分）已知点 P（x0，y0）和直线 y=kx+b，则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可
用公式 d= 计算．
例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离．
解：因为直线 y=3x+7，其中 k=3，b=7．
所以点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离为：d= = = = ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点 P（1，﹣1）到直线 y=x﹣1 的距离；
（2）已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为（0，5），半径 r 为 2，判断⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关系并说明理由；
（3）已知直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行，求这两条直线之间的距离．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据点 P 到直线 y=kx+b 的距离公式直接计算即可；
（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心 Q 到直线 y= x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q 与直
线 y= x+9 相切；
（3）利用两平行线间的距离定义，在直线 y=﹣2x+4 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y=﹣2x﹣6 的
距离即可．
【解答】解：（1）因为直线 y=x﹣1，其中 k=1，b=﹣1，
所以点 P（1，﹣1）到直线 y=x﹣1 的距离为：d= = = = ；
（3）当 x=0 时，y=﹣2x+4=4，即点（0，4）在直线 y=﹣2x+4，
因为点（0，4）到直线 y=﹣2x﹣6 的距离为：d= = =2 ，
因为直线 y=﹣2x+4 与 y=﹣2x﹣6 平行，
所以这两条直线之间的距离为 2 ．
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