微专题 巧构30°的直角三角形
【方法技巧】 遇到30°角常用的辅助线就是作垂线，构造直角三角形，将角度关系转化为边的关系来解决问题．
基本图形：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD＝BC，CD＝AC，BC＝AB.
一、连接两点构造
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，试探究BE与CE之间的数量关系．(导学号：58024208)
【解题过程】
解：连接AE，证BE＝AE，∠EAC＝90°，∴CE＝2AE＝2BE.
2．如图，以等腰直角△ABC的直角边AC为边作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD，CE交于点F.(导学号：58024209)
(1)求∠DFE的度数；
(2)求证：AB＝2DF.
【解题过程】
解：(1)易求∠BDC＝15°，∠DCF＝30°，∴∠DFE＝45°.
(2)证明：连接AF，易证∠AFD＝90°，AF＝DF，
易求∠ABD＝30°，∴AB＝2AF＝2DF.
二、作垂线构造
3．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠BAD＝30°，求证：AD＝2BC.(导学号：58024210)
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【解题过程】
证明：过C作CE⊥AD于E，证∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE，CE＝CB，
∴CD＝2BC.
∵CD＝AD，∴AD＝2BC.
4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC.(导学号：58024211)
【解题过程】
证明：过A作AE⊥CD于E，
∴AC＝2AE，
证△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，
∴AC＝2BC.
三、延长两边构造
5．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长．(导学号：58024212)
【解题过程】
解：延长CD，BA交于M，构造30°的直角△CBM，证△ADM是等边三角形，设AD＝AM＝DM＝x，
∴8＋x＝2(x＋2)，x＝4，∴AD＝4.
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