微专题 构造等腰三角形技巧(二)中线倍长法
【方法技巧】 在证两条线段相等，且以这两条线段为边构造全等三角形较为困难时，往往可通过中线倍长，将这两条线段转移到某等腰三角形中去证明．
基本图形：
如图，若∠1＝∠2，D为BC的中点．
求证：AB＝AC.
【解题过程】
证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
证△BDE≌△CDA，∴∠2＝∠E＝∠1，
∴AB＝BE＝AC.
【点评】通过中线倍长构造等腰△ABE.
1．如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF.(3种方法)(导学号：58024181)
【解题过程】
证明：方法一：延长AD至G，使DG＝AD，连接CG，证△ABD≌△GCD，∴AB＝CG.
再证∠G＝∠EAF＝∠EFA＝∠GFC，∴CG＝CF，∴AB＝CF.
方法二：延长AD至M，使DM＝DF，连接BM，同理可证CF＝BM＝AB；
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方法三：作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N.先证△BMD≌△CND，BM＝CN，
再证△ABM≌△FCN即可．
【点评】方法一通过中线倍长构造等腰△CFG，将分散的两条线段AB，CF转移到同一△CFG中；
方法二通过中线倍长构造等腰△ABM，将分散的两条线段AB，CF转移到同一△ABM中；
方法三通过作垂线，分别以AB，CF构造两个直角三角形全等．
2．如图，AD为△ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点G.(导学号：58024182)
(1)求证：AF＝AG；
(2)求证：BF＝CG；
(3)求的值．
【解题过程】
解：(1)略；
(2)证明：延长GE至M，使EM＝EG，连接BM，则△CEG≌△BEM，∴∠CGE＝∠M，
∴CG＝BM＝BF；
(3)AB＋AC＝(BF－AF)＋(CG＋AG)＝BF＋CG＝2CG，∴＝2.
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