章末知识复习
互相平分
平行
相等
平分
直角
两条
4.
矩形的判定
(1)
有一个角是直角的平行四边形
;
(2)
有三个角是直角的
;
(3)
对角线相等的
;
(4)
对角线相等且互相平分的四边形
.
四边形
平行四边形
一半
垂直
垂直
9.
三角形中位线定理
:
三角形的中位线
于三角形的第三边
,
且等于第三边的
.
10.
由矩形的性质得到直角三角形的一个性质
:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的
.
一半
平行
一半
考点一
:
平行四边形的性质与判定
(1)
求证
:
四边形
BCGE
是平行四边形
;
(2)
求证
:E,F
分别是
AB,AC
的中点
.
考点二
:
矩形的性质与判定
【
例
2】
(
2018
遵义一模
)
如图
,
在四边形
ABCD
中
,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,
对角线
AC,BD
交于点
O,DE
平分∠
ADC
交
BC
于点
E,
连接
OE.
(1)
证明
:
∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
(1)
求证
:
四边形
ABCD
是矩形
;
(2)
若
AB=2,
求△
OEC
的面积
.
(1)
证明
:
∵MN∥BC,CE
平分∠
ACB,CF
平分∠
ACD,
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,
∠OCF=∠FCD=∠OFC,
∴OE=OC,OC=OF,
∴OE=OF.
【
例
3】
如图
,
在△
ABC
中
,O
是边
AC
上的一动点
,
过点
O
作直线
MN∥BC,
设
MN
交∠
BCA
的平分线于点
E,
交∠
BCA
的外角平分线于点
F.
(1)
求证
:OE=OF;
(2)
当点
O
运动到何处时
,
四边形
AECF
是矩形
?
考点三
:
菱形、正方形的性质与判定
【
例
4】
如图
,
菱形
EFGH
的三个顶点
E,G,H
分别在正方形
ABCD
的边
AB,CD,DA
上
,
连接
CF.
(1)
求证
:∠HEA=∠CGF;
(2)
当
AH=DG
时
,
求证
:
菱形
EFGH
为正方形
.
易错点一
:
不能正确区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定方法
,
使用混乱易导致错解
1.
有下列说法
:①
四个角都相等的四边形是矩形
;②
有一组对边平行
,
有两个角为直角的四边形是矩形
;③
两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形
;④
对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
;⑤
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
;⑥
一组对边平行
,
另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形
.
其中
,
正确的个数是
(
)
(A)2
个
(B)3
个
(C)4
个
(D)5
个
C
2.
如图
,
平行四边形
ABCD
的对角线
AC,BD
交于点
O,
过点
B
作
BP∥AC,
过点
C
作
CP∥BD,BP
与
CP
相交于点
P.
(1)
判断四边形
BPCO
的形状
,
并说明理由
;
解
:
(1)
四边形
BPCO
为平行四边形
.
理由如下
:
因为
BP∥AC,CP∥BD,
即
BP∥OC,BO∥CP,
所以四边形
BPCO
为平行四边形
.
(2)
若将平行四边形
ABCD
改为菱形
ABCD,
其他条件不变
,
得到的四边形
BPCO
是什么四边形
,
并说明理由
;
(3)
若得到的是正方形
BPCO,
则四边形
ABCD
是
.(
选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个
)
解:
(2)四边形BPCO为矩形.
理由如下:
因为四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD,则∠BOC=90°,
由(1)得四边形BPCO为平行四边形,
所以四边形BPCO为矩形.
(3)
正方形
.
易错点二
:
解决平行四边形和其他图形的综合问题时
,
忽视多种情况的存在
,
使问题答案不完整
3.
如图
,
矩形
ABCD
中
,AB=6 cm,AD=4 cm,
点
M
是边
AB
的中点
,
点
P
是矩形边上的一个动点
,
点
P
从
M
出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动
,
则当点
P
沿着矩形的边逆时针旋转一周时
,△DMP
面积刚好为
5 cm2
的时刻有
(
)
(A)2
个
(B)3
个
(C)4
个
(D)5
个
4.
在平行四边形
ABCD
中
,AD=BD,BE
是
AD
边上的高
,∠EBD=10°,
则∠
A
的度数为
.
.
C
50°
或
40°
5.
矩形
ABCD
中
,∠ABC
的平分线与直线
CD
交于点
E,DE=2,CD=4,
求这个矩形的面积
.
解
:
①
如图
1,
点
E
在线段
CD
上时
,
因为
DE=2,CD=4,
所以
CE=CD-DE=4-2=2,
因为
BE
是∠
ABC
的平分线
,∠ABC=90°,
所以∠
CBE=45°,
所以△
BCE
是等腰直角三角形
,
所以
BC=CE=2,
所以这个矩形的面积为
BC
·
CD=2×4=8.
1.(
2018
玉林
)
在四边形
ABCD
中
:①AB∥CD,②AD∥BC,③AB=CD,④AD=BC,
从以上选择两个条件使四边形
ABCD
为平行四边形的选法共有
(
)
(A)3
种
(B)4
种
(C)5
种
(D)6
种
2.(
2018
黔东南州
)
如图
,
在▱
ABCD
中
,
已知
AC=4 cm,
若△
ACD
的周长为
13 cm,
则▱
ABCD
的周长为
(
)
(A)26 cm (B)24 cm
(C)20 cm (D)18 cm
B
D
C
4.(
2018
大连
)
如图
,
菱形
ABCD
中
,
对角线
AC,BD
相交于点
O,
若
AB=5,AC=6,
则
BD
的长是
(
)
(A)8 (B)7
(C)4 (D)3
5.(
2018
曲靖
)
如图
,
在△
ABC
中
,AB=13,BC=12,
点
D,E
分别是
AB,BC
的中点
,
连接
DE,CD,
如果
DE=2.5,
那么△
ACD
的周长是
.
6.(
六盘水中考
)
在△
ABC
中
,
点
D
是
AB
边的中点
,
点
E
是
AC
边的中点
,
连接
DE,
若
BC=4,
则
DE=
.
A
18
2
7.(
2018
沈阳
)
如图
,
在菱形
ABCD
中
,
对角线
AC
与
BD
交于点
O.
过点
C
作
BD
的平行线
,
过点
D
作
AC
的平行线
,
两直线相交于点
E.
(1)
求证
:
四边形
OCED
是矩形
;
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠COD=90°.
∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四边形OCED是平行四边形,
又∠COD=90°,∴平行四边形OCED是矩形.
(2)
若
CE=1,DE=2,
则菱形
ABCD
的面积是
.
8.(
2018
青岛
)
已知
:
如图
,
平行四边形
ABCD,
对角线
AC
与
BD
相交于点
E,
点
G
为
AD
的中点
,
连接
CG,CG
的延长线交
BA
的延长线于点
F,
连接
FD.
(1)
求证
:AB=AF;
(1)
证明
:
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,
∴△AGF≌△DGC,
∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)
若
AG=AB,∠BCD=120°,
判断四边形
ACDF
的形状
,
并证明你的结论
.
(2)
解
:
结论
:
四边形
ACDF
是矩形
.
理由
:∵AF=CD,AF∥CD,∴
四边形
ACDF
是平行四边形
,
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴∠BAD=∠BCD=120°,
∴∠FAG=60°,
∵AB=AG=AF,
∴△AFG
是等边三角形
,
∴AG=GF,
∵△AGF≌△DGC,
∴FG=CG,∵AG=GD,∴AD=CF,
∴
四边形
ACDF
是矩形
.
9.(
2018
盐城
)
在正方形
ABCD
中
,
对角线
BD
所在的直线上有两点
E,F
满足
BE=DF,
连接
AE,AF,
CE,CF,
如图所示
.
(1)
求证
:△ABE≌△ADF;
(2)
试判断四边形
AECF
的形状
,
并说明理由
.
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