1
1.3 证明（一）
A 组
1．如图，下面的推理正确的是(D)
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
,(第 1 题)) ,(第 2 题))
2．如图，若 a∥b，则∠1 的度数为(C)
A． 90° B． 80°
C． 70° D． 60°
(第 3 题)
3．如图，下列条件中，能证明 AD∥BC 的是(D)
A． ∠A＝∠C
B． ∠B＝∠D
C． ∠B＝∠C
D． ∠C＋∠D＝180°
4．字母 a，b，c，d 分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它
们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的
连接方式为 a⊕c．
组合, , , 连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c
(第 5 题)
5．如图，∠1 与∠D 互余，∠C 与∠D 互余．求证：AB∥CD．
【解】 ∵∠1 与∠D 互余，
∠C 与∠D 互余(已知)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．2
(第 6 题)
6．如图，直线 a∥b，三角形纸板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b
于 B，C 两点．若∠1＝42°，求∠2 的度数．
【解】 ∵直线 a∥b，∠1＝42°(已知)，
∴∠ACB＝42°(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠BAC＝90°(已知)，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°(三角形的内角和为 180°)，
∴∠2＝∠ABC＝48°(对顶角相等)．
(第 7 题)
7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B 的度数．
【解】 ∵∠1＝∠AGF(对顶角相等)，
∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠AGF(等量代换)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．
B 组
(第 8 题)
8．如图，已知直线 a∥b，直角三角形 ABC 的顶点 B 在直线 a 上，∠C＝90°，∠β＝55
°，则∠α 的度数为__35°__．
【解】 过点 C 作 CE∥a．
∵a∥b，∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．3
(第 9 题)
9．如图，已知 AB∥CD，EF 与 AB，CD 分别相交于点 E，F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分线 FP
相交于点 P，且∠BEP＝50°，则∠EPF 的度数为__70°__．
【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF＝90°．
又∵∠BEP＝50°，
∴∠BEF＝∠BEP＋∠PEF＝140°．
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝40°．
∵FP 平分∠EFD，
∴∠EFP＝
1
2∠EFD＝20°．
∵∠PEF＋∠EFP＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝70°．
10．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE 平分∠ABC，分别交 AC，CD 于点 E，
F．求证：∠CEF＝∠CFE．
(第 10 题)
【解】 ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB．
又∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE．
11．阅读：如图①，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋
∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形 ABCD 内引一条和边平行的直
线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数．
(第 11 题)4
(第 11 题解)
【解】 如解图，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝
180°．
由题意，得∠BED＝∠C＋∠CDE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝(∠A＋∠ADE)＋(∠CDE＋∠C)＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B
＝180°＋180°＝360°．
数学乐园
12．如图，∠EOF＝90°，点 A，B 分别在射线 OE，OF 上移动，连结 AB 并延长至点 D，∠
DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点 C，试问：∠ACB 的度数是否随点 A，B 的移动而发生
变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点 A，B 的移动而发生变化，请给出变化的范
围．
(第 12 题)
【解】 ∠ACB 的度数不随点 A，B 的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC 分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝
1
2∠DBO，
∠BAC＝
1
2∠BAO．
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°．
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴
1
2∠DBO＝
1
2∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝
1
2(∠DBO－∠BAO)＝
1
2∠AOB＝45°．
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