6.3 实数
第 1 课时 实数的概念
一、教学目标
1.理解无理数和实数的概念.
2.会对实数按照一定的标准分类，培养分类能力.
3.知道实数与数轴上的点一一对应.
二、教学重难点
重点
理解无理数和实数的概念.
难点
会对实数按照一定的标准分类，培养分类能力.
重难点解读
1.无理数的特征：
（1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数；
（2）平方根和立方根的被开方数开方开不尽的数也是无理数；
（3）圆周率π及一些含有π的数，如π，
2
π ，π-3 等都是无理数.
2.（1）实数的分类有不同的方法，但同一方法要按同一标准进行分类，做
到不重不漏；
（2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后的
结果进行分类，不能看到带有根号的数，就认为是无理数.
3.数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数.在数轴上确定表示有理数
的点比较容易，而若要在数轴上画出表示无理数的点，则需要先得到无理数的近
似值或大致的取值范围.
三、教学过程
活动 1 旧知回顾
1.回顾有理数的概念，写出几个有理数，并在数轴上表示出来.
2.下列说法正确的是（ ）
A.一个有理数不是正数就是负数
B.一个整数不是正整数就是负整数
C.一个分数不是正分数就是负分数
D.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数这五类数
3.在 6.525 2， 1.7 ， 406.5 ，3.08，3.141 592 6…，6.323 232…中，有限
小数有（ ）个，无限小数有（ ）个，循环小数有（ ）个.
活动 2 探究新知
1.教材第 53 页 内容.
提出问题：
（1）什么是无限不循环小数？
（2）什么样的数叫无理数？
（3）无理数有几种表现形式？
（4）实数包括哪些数？如何对实数进行分类？
2.教材第 54 页 探究.
活动 3 知识归纳
1. 无限不循环小数 叫做无理数， 有理数 和 无理数 统称为
实数.
2.实数的分类
（1）按定义分：
实数
无限不循环小数
负无理数
正无理数无理数
数有限小数或无限循环小
负有理数
正有理数
有理数 0
（2）按大小分：
实数
负实数
正实数
0
3.当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即
每一个实数都可以用数轴上的一个 点 来表示；反过来，数轴上的每一个点
都表示一个 实数 ，与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数 大 .
活动 4 典例赏析及练习
例 1 下列各数中，是无理数的是（ C ）
A. 4 B.-
3
1 C.π D.-1
例 2 把下列各数分别填到相应的集合内：
-3.6， 27 ， 4 ，5， 3 7 ，0，
2
π ，- 3 125 ，
7
22 ，3.14，0.101 00…
（1）有理数集合{-3.6， 4 ，5，0，- 3 125 ，
7
22 ，3.14，…}；
（2）无理数集合{ 27 ， 3 7 ，
2
π ，0.101 00…，…}；
（3）整数集合{ 4 ，5，0， 3 125- ，…}；
（4）负实数集合{-3.6， 3 7 ，- 3 125 ，…}.
例 3 如图，数轴上表示实数 8 的点可能是（ B ）
A.点 P B.点 Q C.点 M D.点 N
练习：
1.下列说法：
①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环
小数；④无限小数都是无理数.其中正确的是（ C ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
2.教材第 57 页 复习巩固第 2 题.
3.教材第 56 页 练习第 1 题.
活动 5 课堂小结
1.无理数和实数的概念.
2.实数按一定标准进行分类.
3.实数与数轴的关系.
四、作业布置与教学反思
第 2 课时 实数的运算
一、教学目标
1.理解实数范围内的相反数、绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值.
2.运用实数的运算法则和运算律对实数进行运算.
二、教学重难点
重点
理解实数范围内的相反数、绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值.
难点
运用实数的运算法则和运算律对实数进行运算.
重难点解读
1.有理数关于相反数、绝对值的意义和求法同样适用于实数.
2.对于实数 a，有如下三类非负数：a2≥0，|a|≥0， a ≥0（a≥0），并且
非负数有如下性质：若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数都为 0.
3.在实数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且
正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.有理数的运
算法则和运算律在实数范围内仍然成立，实数的混合运算顺序和有理数的混合运
算顺序相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减.同级运算按照从左到右
的顺序，有括号的要先算括号里的.
三、教学过程
活动 1 旧知回顾
1.下列关于 2 的判断：① 2 是无理数；② 2 是实数；③ 2 是-2 的算术
平方根；
④1＜ 2 ＜2，其中正确的是 （填序号）.
2.2 的相反数是 ，-1 的绝对值是 .
3.计算：
（1）-
3
25 +
3
28 ÷（-2）×
13
2 -
3
2 ；
（2）-22×（-
2
11 ）-32÷（-2）2×（-
4
11 ）.
活动 2 探究新知
1.教材第 54 页 思考.
提出问题：
（1）你能完成思考中的填空吗？
（2）通过填空你能发现有理数的相反数、绝对值和实数的相反数、绝对值
有什么联系？
（3）由此你能得出什么结论？
2.教材第 55 页 最下面的内容.
（1）随着数的进一步扩充，有理数的运算法则及运算律对实数适用吗？
（2）实数的混合运算顺序是什么？
活动 3 知识归纳
1.数 a 的相反数是 -a ，这里 a 表示任意一个实数.
2.一个正实数的绝对值是 它本身 ；一个负实数的绝对值是 它的相
反数 ；0 的绝对值是 0 .即设 a 表示一个实数，则
|a|=
.0
00
0
时＜当
时；当
时；＞当
aa
a
aa
3.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且 正
数及 0 可以进行开平方运算， 任意一个实数 可以进行开立方运算.在进
行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
4.在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所
要求的精确度用相应的近似有限小数去代替 无理数 ，再进行计算.
活动 4 典例赏析及练习
例 1 教材第 55 页 例 1.
例 2 教材第 56 页 例 2.
例 3 教材第 56 页 例 3.
练习：
1.教材第 56 页 练习第 2～4 题.
2.有一个数值转换器，原理如下.当输入的 x 是 4 时，输出的 y 是（ C ）
A.4 B.2 C. 2 D.- 2
3.实数 a，b，c 在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a|-|b-a|-|b+c|.
【答案】解：由图可知 a＜0，b-a＞0，b+c＜0.
∴|a|-|b-a|-|b+c|= -a-（ b-a） +（ b+c） =-a-b+a+b+c=c.
活动 5 课堂小结
1.实数的性质.
2.实数的运算.
四、作业布置与教学反思
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