2019-2020学年湖南省高二下学期期末考试数学试题 Word版

- 1 - 湘潭市一中 2019-2020 学年高二下学期期末考试数学试题 命题人：顾希明 秦述平 刘涛 审核人：马子成 一．单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1．设全集 }4,3,2,1{U ，集合 }2,1{A ，集合 }3,2{B ，则 BACU )( ( ) A． 1, 4 B． 1, 2 , 3 C． 3, 4 D． 2 , 3, 4 2．在等差数列{ }na 中， 2 6a   ，公差 2d  ，则 12a  ( ) A．12 B．14 C．16 D．10 3．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6：5：7，防疫站欲对该校学生 进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 n 的样 本，样本中高三年级的学生有 21 人，则 n 等于( ) A．35 B．45 C．54 D．63 4．函数 4ln)(  xxxf 的零点所在的区间是( ) A． (1, 2 ) B． (2, 3) C．(3,4) D．(4,5) 5．已知 a，b，c 是 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 1a ， 3b ， BCA 2 ， 则 Csin ( ) A．1 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 2 6．如图，CD ， BE 分别是边长为 2 的等边 ABC 的中线，圆O 是 ABC 的内切圆，线 段OB 与圆O交于点 F ，在 ABC 中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是 ( ) A． 3 54  B． 18  C． 3 27  D． 3 108  7．已知 ,x y 都是正数,且 2 1 1x y   ，则 x y 的最小值等于( ) A．6 B． 4 2 C．3 2 2 D． 4 2 2 8．函数   xxxxxf (cos)1()( 且 )0x ，的图象可能为( ) - 2 - 二．多选题（每小题 5 分，少选得 3 分，多选，错选不得分） 9、已知函数 3cos32)cos(sin)( 22  xxxxf ，则下列结论正确的是（ ）． A．函数的最小正周期为 B. 函数的最大值是3 C．函数的单调增区间为 ]12 5,12[   kk （ Zk  ） D． )0,6( 是函数的一个对称中心 10、如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中，给出以下四个结论，则正确的是（ ）． A．与直线 1AD 成 045 的棱有8 条 B．正方体各个面与面 1ACD 所成的锐二面角均相等 C．正方体所有的棱与平面 1ACD 所成的角相等 D．过点 1D 且与直线 AC 平行的直线 a ，必在平面 1111 DCBA 上． 11、已知直线l ： 01)2(  mymmx ，圆C ： 1)1( 22  yx ，则下列结论中正确的 是（ ）． A．存在 m 的一个值，使直线l 经过圆心C B．无论 m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C．圆心C 到直线l 的最大距离是 2 2 D．当 1m 时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为 1)1( 22  yx ． 12、已知函数       .0, ,0,1)1(log )( 2 1 xx xx xf ，则下列结论中正确的是（ ）． A． ]0,( 是函数 )(xf 的一个单调减区间 B． ）的解集为（  ,11)(xf - 3 - C．若 2 1)( xf ，则 4 1x ，或 21x D．方程 0)(  xxf 必有两个实数根 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分） 13、已知 ),2(   ，且 5 3sin  ，则   2cos)2sin()sin( ． 14、已知数列 na 成等比数列，且 23 a ， 6464 aa ，则该数列的前5项和是 ． 15、已知向量 )2,1( a ， )3,4(b ， 22|| c ．若 a 与 )( cb  垂直，则向量 a 与 c 的夹 角的余弦值是 ． 16、半径为 R 的球内有一个内接圆柱（即圆柱的底面是球的截面圆），当圆柱的底面半径 Rr 2 3 时，圆柱的体积与球的体积之比是 ；当圆柱的底面半径 r 时， 圆柱的体积最大． 四、解答题 17、（10 分）在 䳌䁨 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且满足 cosA sinB ． 㤵㐠 求 A； ‴㐠 已知 ‴ ， 䳌 ，求 䳌䁨 的面积． 18、（12 分）在多面体 中，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直， ， ， ， ，M，N 分别为 EC 和 BD 的中点． 求证： 平面 BDE； 求直线 MN 与平面 BMC 所成角的正弦值． - 4 - 19、(12 分）在等比数列 中，公比 㤵㐠 ，且满足 ‴ ， 㤵 ‴‴ ‴ ． 㤵㐠 求数列 的通项公式； ‴㐠 设 log‴ ，数列 的前 n 项和为 ，当 㤵 㤵 ‴ ‴ 取最大值时，求 n 的值． 20、（12 分）某区组织群众性登山健身活动，招募了 N 名师生志愿者，现将所有志愿者按年 龄情况分为 㤵 ～ ‴ ， ‴ ～ ‴ ， ‴ ～ ， ～ ， ～ ， ～ 六组，其频率分布直方图 如图所示：已知 ～ 之间的志愿者共 8 人． 㤵㐠 求 N 和 ‴ ～ 之间的志愿者人数 㤵 ； ‴㐠 组织者从 ～ 之间的志愿者 其中共有 4 名女教师，其余 全为男教师 㐠 中随机选取 3 名担任后勤保障工作，记其中女教师 的数量为 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望． 21、(12 分）若圆 ： 与圆 ： 相外切。 求 m 的值； 若圆 与 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，P 为第三象限内一点 且在圆 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值。 22、(12 分）已知函数 b 为常数 ，且 为 的一个极值 点． 求 a 的值； - 5 - 求函数 的单调递减区间； 若 的图象与 x 轴正半轴有且只有 3 个交点，求实数 b 的取值范围． 试卷答案： 1-8、 DBCB AACD 9、ABC；10、ABCD；11、BCD；12、BC． 13、 5 1 ；14、 2 31 或 2 11 ；15、 10 10 ；16、 16 9 ， Rr 3 6 ． 17、解： 㤵㐠 由正弦定理： sin sin䳌 ，得： sin䳌cos sinsin䳌 ， B 为 䳌䁨 内角，故 ㌳䳌  ，所以 cos sin ， 若 cos ，则 sin ，与 sin ‴ cos ‴ 㤵 矛盾，故 cos ， 因此 tan ，又 A 为 䳌䁨 内角，所以 ； ‴㐠 由正弦定理得： sin䳌 sin ， 䁨 䳌 ‴ ， 故 㤵 ‴ ． 18、 证明：如图，在梯形 ABCD 中，取 CD 的中点 H，连接 BH． 因为 ， ， ， ， ， 所以四边形 ADHB 为正方形． 又 ， ， 所以 ，所以 ． 又平面 平面 ABCD，平面 平面 ， ， 所以 平面 ABCD，所以 ． 又 ，故 BC 平面 BDE． - 6 - 由 ，知 平面 ABCD， ，所以 DE，DA，DC 两两垂直．以 D 为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 2， ， 1， ， ， ， 所以 1， ， ． 设 y， 为平面 BMC 的法向量， 则 即 ，可取 1， ． 又 ， 所以 ， ， 所以直线 MN 与平面 BMC 所成角的正弦值为 ． 19、解： 㤵㐠 因为 㤵 ‴‴ ‴ ， 所以 ‴ ‴ ‴‴ ‴ ‴ ， 由 ‴ ，即 㤵 ‴ ‴ ， ，可得 㤵  ， 由 ൏ ൏ 㤵 ，可得  ， 所以 ‴ ， 又 ‴ ，所以 ‴ ， 而 㤵㐠 ，所以 ‴  ， 所以 ‴ ， 㤵 ， 㤵 ‴ ， 㤵 ， 所以 㤵 ‴ 㐠 㤵 ‴ ； ‴㐠 log‴ ，所以 㤵 㤵 ， 所以 是以 3 为首项， 㤵 为公差的等差数列， 所以 䁩㐠 ‴ 䁩 ‴ ， 㤵 㤵 㤵 ‴ ， 㤵 㤵 ， 所以数列 是公差为 㤵 ‴ ，首项为 3 的等差数列，且为递减数列， 所以当 时，  ， 当 䁩 时， ，  䁩 时， ൏ ， - 7 - 当 或 7 时， 㤵 㤵 ‴ ‴ 取最大值 ‴㤵 ‴ ． 20、 㤵㐠 设频率分布直方图中 6 组数据的频率分别为 㤵‴ ， ‴ ，所以 ‴ ， 由题意 㤵 ‴ 㤵 ， 而 ‴ 㤵 㤵 㤵 㤵 ‴ 㤵 ， 所以 ‴ ～ 之间的志愿者人数 㤵 ‴ ‴ ． ‴㐠 ～ 之间共有 㤵 ‴㐠 人，其中 4 名女教师，2 名男教师从中选取三 人，则女教师的数量为 的可能取值为 1，2，3， 所以 㤵 䁨 㤵 䁨‴ ‴ 䁨 㤵 ； ‴ 䁨 ‴ 䁨‴ 㤵 䁨 ； 䁨 䁨 㤵 ； 所以 的分布列为： 1 2 3 㤵 㤵 所以数学期望为 㤵 㤵 ‴ 㤵 ‴ ． 21、解： 圆 的圆心坐标 ，半径为 ， 圆 的圆心坐标 ，半径为 3， 又两圆外切得 ， 解得 ． 证明：由 得点 A 坐标为 ，点 B 坐标为 ， 设 P 点坐标为 ， 由题意得点 M 的坐标为 ；点 N 的坐标为 四边形 ABNM 的面积 ， 由 P 点在圆 上，有 ， 四边形 ABNM 的面积 ， 即四边形 ABNM 的面积为定值 4． 22、解： ， ， 又 是 的一个极值点 ， 则 ． - 8 - 函数 的定义域为 ． 由 知 ． ． 由 可得 或 ，由 可得 ． 函数 的单调递减区间为 ． 由 Ⅱ 可知函数 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增． 且当 或 时， ． 的极大值为 ， 的极小值为 ． 当 x 充分接近 0 时， 当 x 充分大时， ． 要使得 的图象与 x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只 需 即 解得： ．