专题03 证明平行的方法（解析版）-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

证明平行的方法 证明平行在每年的高考大题中几乎都有，一般为大题，并且为中档题，所以我们一定要将这个分数得 到，为此有必要对这一部分好好归纳总结一下。平行分为三种：线线平行、线面平行、面面平行。下面对 证明它们的方法归纳如下： 一、线线平行 证明线线平行的方法主要有以下几种： 1．初中证明线线平行的常用方法：⑴平行四边形的对边平行，⑵三角形（梯形）的中位线， ⑶同位角相等（内错角相等、同旁内角互补）两直线平行，⑷平行线截割定律逆定理。 2.直线与平面平行的性质定理（ , ,a a b a b        ）。 3.平面与平面平行的性质定理（ , ,a b a b           ）。 4.直线与平面垂直的性质定理（ ,a b a b     ） 例 1. 在如图所示的几何体中，四边形 ACC1A1 是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点 A，B，E，A1 在一个平面 内，求证 A1E∥AB. 证明：∵四边形 ACC1A1 是矩形，∴A1C1∥AC.又 AC⊂平面 ABC，A1C1⊄平面 ABC， ∴A1C1∥平面 ABC.∵FC1∥BC，BC⊂平面 ABC，∴FC1∥平面 ABC. 又∵A1C1，FC1⊂平面 A1EFC1，∴平面 A1EFC1∥平面 ABC.又∵平面 ABEA1 与平面 A1EFC1、平面 ABC 的交 线分别是 A1E，AB，∴A1E∥AB. 点评：本解法利用了平面与平面平行的性质定理。 变式.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作一平 面交平面 BDM 于 GH. 求证:AP∥GH. 证明：连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO. 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 O 是 AC 的中 点,又 M 是 PC 的中点,所以 AP∥OM.而 PA⊄ 平面 BDM,OM⊂平面 BDM,所以 AP∥平面 BMD. 因为 AP⊂平面 PAHG,平面 PAHG∩平面 BMD=GH,所以 AP∥GH. 二、线面平行 证明线面平行的方法主要有两种： 1. 利用线面平行的判定定理(a  α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； 2. 利用面面平行的性质定理 2(α∥β，a⊂α⇒a∥β)。 例 2.：如图，在四面体 A－BCD 中，F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点，G 为 DE 的中点．证明：直 线 HG∥平面 CEF. 证明 ：法一(利用线面平行的判定定理):如图，连接 BH，BH 与 CF 交于 K，连接 EK. ∵F、H 分别是 AB、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝2 3. 又据题设条件知，BE BG ＝2 3 ，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK∥GH. ∵EK⊂平面 CEF，GH⊄平面 CEF， ∴直线 HG∥平面 CEF. 法二(利用面面平行的性质定理 2): 如图，取 CD 的中点 N，连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面 CEF，GN⊄平面 CEF，∴GN∥平面 CEF. 连接 FH，EN,∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点， ∴FH∥BC， FH=1 2BC，EN∥BC，EN=1 2BC，∴FH∥EN， FH=EN，∴四边形 FHNE 为平行四边形，∴HN∥EF. ∵EF⊂平面 CEF，HN⊄平面 CEF， ∴HN∥平面 CEF.HN∩GN＝N，∴平面 GHN∥平面 CEF.∵GH⊂平面 GHN， ∴直线 HG∥平面 CEF. 变式. 如图所示，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM＝FN， 求证：MN∥平面 BCE. 证明：过点 M 作 MG∥BC 交 AB 于点 G，连接 GN.则AM MC ＝AG GB ， ∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴FN NB ＝AG GB.∴GN∥AF，又 AF∥BE.∴GN∥BE. ∵GN⊄面 BCE，BE⊂面 BCE，∴GN∥面 BCE.∵MG∥BC，MG⊄面 BCE，BC⊂面 BCE. ∴MG∥面 BCE.∵MG∩GN＝G，∴面 MNG∥面 BCE.∵MN⊂面 MNG，∴MN∥平面 BCE. 三、面面平行 证明面面平行的方法主要有两种： 1.利用面面平行的判定定理（ , , , ,a b a b P a b            ） 2.利用面面平行的判定定理的推论 （ , , , , , ,a b a b P c d a c b d              ） 例 3. 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N、P 分别为所在边的中点．求证：平面 MNP∥平面 A1C1B. 证明：法一（利用面面平行的判定定理的推论）:如图，连接 D1C，则 MN 为△DD1C 的中位线，∴MN∥ D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理可证，MP∥C1B.而 MN 与 MP 相交，MN，MP 在平面 MNP 内，A1B， C1B 在平面 A1C1B 内，∴平面 MNP∥平面 A1C1B. 法二（利用面面平行的判定定理）:如图，连接 D1C，则 MN 为△DD1C 的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B， ∴MN∥A1B. MN 平面 A1C1B, 1A B  平面 A1C1B, MN  平面 A1C1B. 同理可证，MP∥平面 A1C1B.而 MN 与 MP 相交，MN，MP 在平面 MNP 内， ∴平面 MNP∥平面 A1C1B. 变式. 如图，F，H 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 CC1，AA1 的中点， 求证：平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明:取 DD1 中点 E，连 AE、EF.∵E、F 为 DD1、CC1 的中点， ∴EF 綊 CD.∴EF 綊 AB，∴四边形 EFBA 为平行四边形．∴AE∥ BF. 又∵E、H 分别为 D1D、A1A 的中点，∴D1E 綊 HA，∴四边形 HAED1 为 平 行 四 边 形．∴HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知 B1D1∥BD，且已证 BF∥D1H.∵B1D1⊄平面 BDF，BD⊂平面 BDF， ∴B1D1∥平面 BDF.∵HD1⊄平面 BDF，BF⊂平面 BDF，∴HD1∥平面 BDF. 又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 点评：一般是由面面平行的判定定理的推论找到解题思路，由面面平行的判定定理写出证明过程，故实际 上证明面面平行只有一种方法。 小试牛刀 证明平行练习题 1．如图所示，一平面与空间四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 都平行，且交空间四边形的边 AB，BC，CD， DA 分别于 E，F，G，H. 求证：EFGH 为平行四边形； 1.解：证明：∵BD∥平面 EFGH，BD⊂平面 ABD，平面 ABD∩平面 EFGH＝EH， ∴BD∥EH，同理 BD∥FG.∴EH∥FG，同理 EF∥HG.∴四边形 EFGH 为平行四边形． 2．如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点． (1)求证：MN∥平面 PAD； (2)若 MN＝BC＝4，PA＝4 3，求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小． 2.解：(1)取 PD 的中点 H，连接 AH，NH，∵N 是 PC 的中点，∴NH 綊 1 2DC.由 M 是 AB 的 中点，且 DC 綊 AB，∴NH 綊 AM，即四边形 AMNH 为平行四边形．∴MN∥AH.由 MN⊄平面 PAD，AH⊂平面 PAD，∴MN∥平面 PAD. (2)连接 AC 并取其中点 O，连接 OM、ON，∴OM 綊 1 2BC，ON 綊 1 2PA.∴∠ONM 就是 异面直线 PA 与 MN 所成的角，由 MN＝BC＝4，PA＝4 3，得 OM＝2，ON＝2 3. ∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角． 3．如图所示，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M、N、Q 分别在 PA、BD、PD 上， 且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD. 求证：平面 MNQ∥平面 PBC. 3. 证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP⊂平面 PBC， NQ⊄平面 PBC，∴NQ∥平面 PBC.又底面 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC. ∵BC⊂平面 PBC，MQ⊄平面 PBC，∴MQ∥平面 PBC.又 MQ∩NQ＝Q， 得平面 MNQ∥平面 PBC. 4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 的点， 问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ 与平面 PAO 平行？ 4.解:如图，设平面 D1BQ∩平面 ADD1A1＝D1M，点 M 在 AA1 上，由于平面 D1BQ∩平面 BCC1B1＝BQ，平 面 ADD1A1∥平面 BCC1B1，由面面平行的性质定理可得 BQ∥D1M. 假设平面 D1BQ∥平面 PAO，由平面 D1BQ∩平面 ADD1A1＝D1M，平面 PAO∩平面 ADD1A1＝AP，可得 AP∥D1M，所以 BQ∥AP.因为 P 为 DD1 的中点，所以 Q 为 CC1 的中点． 故当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.