专题01 规律探究问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版）

【课标解读】 新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数 或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。 规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归 纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题. 【解题策略】 解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知 难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。 解答策略：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论. 【考点深剖】 ★考点一 数式规律探究 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学 方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比 较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征， 改写成要求的格式。 【典例 1】（2018 山东日照）定义一种对正整数 n 的“F”运算：①当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；②当 n 为 偶数时，F（n）= （其中 k 是使 F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取 n=24， 则： 若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ） A．1 B．4 C．2018 D．42018 【分析】算出 n=13 时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 解：若 n=13， 第 1 次结果为：3n+1=40， 第 2 次结果是： =5， ★考点二 图形规律探究 由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通 用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转 化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常 用“拆图法”解决问题。 【典例 2】（2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的 “正 方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ） A．33 B．301 C．386 D．571 【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n= ，第 n 个正方形数为 n2，据此得出最大的三角形 数和正方形数即可得． 解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n= ， ★考点三 坐标规律探究 “图形与坐标”是“图形与几何”领域的主要内容之一其中有这样一类问题，根据已知点的变化情况，利用 猜想、归纳、验证等方法，探究点的坐标变化规律.这类问题要求通过归纳概括，得到猜想和规律，并加以 验证，这是提高合情推理能力的重要途径，也是培养创新精神的重要方法.现结合实例，对点的坐标规律探 索作一个归类整理. 【典例 3】（2018 东营）（4.00 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，…和 B1，B2，B3，…分别 在直线 y= x+b 和 x 轴上． △ OA1B1， △ B1A2B2， △ B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点 A1（1，1），那 么点 A2018 的纵坐标是 ． 【分析】因为每个 A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点 A 的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边 一半．故先设出各点 A 的纵坐标，可以表示 A 的横坐标，代入解析式可求点 A 的纵坐标，规律可求． 解：分别过点 A1，A2，A3，…向 x 轴作垂线，垂足为 C1，C2，C3，… ∵点 A1（1，1）在直线 y= x+b 上，∴代入求得：b= ∴y= x+ ∵△OA1B1 为等腰直角三角形，∴OB1=2 设点 A2 坐标为（a，b） ∵△B1A2B2 为等腰直角三角形 ∴A2C2=B1C2=b ∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b 把 A2（2+b，b）代入 y= x+ 解得 b= ∴OB2=5 同理设点 A3 坐标为（a，b） ★考点四 函数规律探究 函数规律问题解决时要充分利用图形中的线段与坐标的关系，把坐标和图形联系起来，然后利用点的 坐标满足函数解析式代入求解。学科&网 【典例 4】如图，已知等边 △ OA1B1，顶点 A1 在双曲线 y= （x＞0）上，点 B1 的坐标为（2，0）．过 B1 作 B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x 轴于点 B2，得到第二个等边 △ B1A2B2；过 B2 作 B2A3∥B1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作 A3B3∥A2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边 △ B2A3B3；以此类推，…， 则点 B6 的坐标为 ． 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出 B2、B3、B4 的坐标，得出规 律，进而求出点 B6 的坐标． 解得 b=﹣ + ，或 b=﹣ ﹣ （舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ， ∴点 B3 的坐标为（2 ，0）； 同理可得点 B4 的坐标为（2 ，0）即（4，0）； …， ∴点 Bn 的坐标为（2 ，0）， ∴点 B6 的坐标为（2 ，0）． 故答案为（2 ，0）． ★考点五 变换规律探究 图形的变化具有周期性，要先确定循环周期及图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到 余数，进而使所求问题得以解决. 【典例 5】（2018 黑龙江龙东）（3.00 分）如图，已知等边 △ ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等 边三角形，得到第一个等边 △ AB1C1；再以等边 △ AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二 个等边 △ AB2C2；再以等边 △ AB2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 △ AB3C3；…， 记 △ B1CB2 的面积为 S1， △ B2C1B3 的面积为 S2， △ B3C2B4 的面积为 S3，如此下去，则 Sn= ． 解：∵等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1= ， ∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ×（ ）2= （ ）1； ∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB2⊥B1C1， ∴B1B2= ，AB1= ， 根据勾股定理得：AB2= ， ∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×（ ）2= （ ）2； 依此类推，第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 （ ）n． 故答案为： （ ）n．学科*网 【讲透练活】 变式 1：（2018 南宁）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ． 变式 2：（2017•黑龙江）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有 5 个三角形；第三个 图形中有 9 个三角形；…．则第 2017 个图形中有 个三角形． 【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三 角形的个数多 4． 【解答】解：第 1 个图形中一共有 1 个三角形， 第 2 个图形中一共有 1+4=5 个三角形， 第 3 个图形中一共有 1+4+4=9 个三角形， … 第 n 个图形中三角形的个数是 1+4（n﹣1）=4n﹣3， 当 n=2017 时，4n﹣3=8065， 故答案为：8065． 变式 3：（2018 齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点 A（ ，1）在射线 OM 上，点 B（ ，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △ ABA1，以 BA1 为直角边作第二个 Rt △ BA1B1，以 A1B1 为直角边作第三个 Rt △ A1B1A2，…，依次规律，得到 Rt △ B2017A2018B2018，则点 B2018 的纵坐标为 ． 【分析】根据题意，分别找到 AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可 ∴当 A（B）点横坐标为 时，由①AB=2，则 BA1=2 ，则点 A1 横坐标为 ，B1 点纵坐标 为 9=32 当 A1（B1）点横坐标为 3 时，由①A1B1=6，则 B1A2=6 ，则点 A2 横坐标为 ，B2 点纵 坐标为 27=33 当 A2（B2）点横坐标为 9 时，由①A2B2=18，则 B2A3=18 ，则点 A3 横坐标为 ， B3 点纵坐标为 81=34 依稀类推 点 B2018 的纵坐标为 32019 故答案为：32019 变式 4：（2018 辽宁抚顺）（3.00 分）如图，正方形 AOBO2 的顶点 A 的坐标为 A（0，2），O1 为正方形 AOBO2 的中心；以正方形 AOBO2 的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2 为正方形 ABO3A1 的中 心；再以正方形 ABO3A1 的对角线 A1B 为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O3 为正方形 A1BB1O4 的中 心；再以正方形 A1BB1O4 的对角线 A1B1 为边在 A1B1 的右侧作正方形 A1B1O5A2，O4 为正方形 A1B1O5A2 的 中心：…；按照此规律继续下去，则点 O2018 的坐标为 ． 【分析】由题意 Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察 可知，下标为偶数的点的纵坐标为 2 ，下标为偶数的点在直线 y= x+1 上，点 O2018 的纵坐标为 21009，可 得 21009= x+1，同侧 x=21010﹣2，可得点 O2018 的坐标为（21010﹣2，21009）． 变式 5：（2017 黑龙江佳木斯）如图，四条直线 l1：y1= x，l2：y2= x，l3：y3=﹣ x，l4：y4=﹣ x， OA1=1，过点 A1 作 A1A2⊥x 轴，交 l1 于点 A2，再过点 A1 作 A1A2⊥l1 交 l2 于点 A2，再过点 A2 作 A2A3⊥l3 交 y 轴于点 A3…，则点 A2017 坐标为 [（ ）2015， （ ）2016] ． 【分析】先利用各直线的解析式得到 x 轴、l1、l2、y 轴、l3、l4 依次相交为 30 的角，各点的位置是每 12 个 一循环，由于 2017=168×12+1，则可判定点 A2016 在 x 轴的正半轴上，再规律得到 OA2016=（ ）2015，然 后表示出点 A2017 坐标．