【课标解读】
初中数学《新课程标准》中指出:教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，
帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得
广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
新课程把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，在《新课程标准》中明确提出来，这不仅是
课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。掌握数学思想，
就是掌握数学的精髓。
【解题策略】
初中数字中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨
论思想、函数与方程思想等
【考点深剖】
★考点一 整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联
系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量
时，特征，把一组数或一个代数式看作一 个整体， 从而使问题得到解决。
【典例 1】（2018•岳阳）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 ．
【分析】利用整体思想代入计算即可；
【解答】解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为 5．
★考点二 转化思想问题
转化思想转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易
解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决.转化思想体现在数学解题过程中就是将未知
的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.
【典例 2】（2018•连云港）解方程： ﹣ =0．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
★考点三 数形结合思想
数形结合思想，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研
究是围绕着数与形展开的，初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数
学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”)与直
观的图象(“形“)结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”
直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化，数形结合思想包括“以
形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，“数无形时不直观，形无
数时难入微.”
【典例 3】（2018•威海）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案
【解答】解：解不等式①，得 x＞﹣4，
解不等式②，得 x≤2，
把不等式①②的解集在数轴上表示如图
，
原不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
★考点四 分类讨论思想
分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类.分类是以
比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解诀数学
问题. 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合
得
解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策
略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则: (1) 分类中的每一部分是相互
独立的; (2) 一饮分类按-一个标准; (3) 分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的，既不重复、也
不遗漏.
【典例 4】（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：
例 1 等腰三角形 ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数．（答案：35°）
例 2 等腰三角形 ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数，（答案：40°或 70°或 100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形 ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC
中，设∠A=x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围．
【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
（2）分两种情况：
①当 90≤x＜180 时，∠A 只能为顶角，
∴∠B 的度数只有一个；
②当 0＜x＜90 时，
若∠A 为顶角，则∠B=（ ）°；
若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=x°．
当 ≠180﹣2x 且 180﹣2x≠x 且 ≠x，
即 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．
综上所述，可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．学科&网
★考点五 函数与方程思想
函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解诀问题.函数思想是客观世
界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映.函数与方程思想的本质是变量之
间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从
而使问题获得解诀.如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方
程和对方程的研究使问题得到解诀，这就是方程思想.
【典例 5】2018•天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线
段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的
函数关系．
（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）设 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1=kx+b，
∵经过点（0，168）与（180，60），
∴ ，解得： ，
∴产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y1=﹣ x+168（0≤x≤180）；
（3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元，
①当 0≤x≤50 时，W=x（﹣ x+168﹣70）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当 x=50 时，W 的值最大，最大值为 3400；
②当 50＜x＜130 时，W=x[（﹣ x+168）﹣（﹣ x+80）]=﹣ （x﹣110）2+4840，
∴当 x=110 时，W 的值最大，最大值为 4840；
③当 130≤x≤180 时，W=x（﹣ x+168﹣54）=﹣ （x﹣95）2+5415，
∴当 x=130 时，W 的值最大，最大值为 4680．
因此当该产品产量为 110kg 时，获得的利润最大，最大值为 4840 元．
★考点六 类比思想
类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁，
实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中，进而使问题得到解决.具体
的策略是分析问题有深度→借助新旧知识的关联→合理进行知识迁移→运用类比的思想→轻松解决疑难问
题
【典例 6】（2017 山东滨州）根据要求，解答下列问题：
①方程 x2﹣2x+1=0 的解为 ；
②方程 x2﹣3x+2=0 的解为 ；
③方程 x2﹣4x+3=0 的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 x2﹣9x+8=0 的解为 ；[来
②关于 x 的方程 的解为 x1=1，x2=n．[
（3）请用配方法解方程 x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．[
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程 x2﹣9x+8=0 的解为 1 和 8；②关于 x 的方程的解为 x1=1，
x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为 1，则一次项系数为 1 和 n 的和的相反数，常数项为 1 和 n 的积．
（3）利用配方法解方程 x2﹣9x+8=0 可判断猜想结论的正确．
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程 x2﹣9x+8=0 的解为 x1=1，x2=8；
②关于 x 的方程 x2﹣（1+n）x+n=0 的解为 x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+ =﹣8+
（x﹣ ）2=
x﹣ =± ，
所以 x1=1，x2=8；
所以猜想正确．
故答案为 x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
【讲透练活】
变式 1：（2018•玉林）已知 ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．
【分析】将 ab=a+b+1 代入原式=ab﹣a﹣b+1 合并即可得．
【解答】解：当 ab=a+b+1 时，
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2，
故答案为：2．学科&网
变式 2：（2018•随州）已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，则 a+b= 5 ．
【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于 a、b 的方程组，求出 a、b 即可解决问题；
【解答】解：∵ 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，
∴ ，解得 ，
∴a+b=5，
故答案为 5．
变式 3：（2018•常德）分式方程 ﹣ =0 的解为 x= ．
变式 4：（2018•枣庄）如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B
两点，且与反比例函数 y= （n 为常数，且 n≠0）的图象在第二象限交于点 C．CD⊥x 轴，垂足为 D，若
OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为 E，求△CDE 的面积；
（3）直接写出不等式 kx+b≤ 的解集．
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
把点 A（6，0），B（0，12）代入 y=kx+b 得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣ =﹣2x+12 时，解得
x1=10，x2=﹣4
当 x=10 时，y=﹣8
∴点 E 坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式 kx+b≤ ，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
变式 5：（2017 绥化）在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D，若 AD= BC，则△ABC 的顶角的度数为 ．w
【分析】分两种情况；①BC 为腰，②BC 为底，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出
∠ACD=30°，然后分 AD 在△ABC 内部和外部两种情况求解即可．
变式 6：（2017 贵州安顺）如图甲，直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物
线 y=x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接
写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当 0＜x＜3 时，在抛物线上求一点 E，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【解答】解：
（1）∵直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，
∴B（3，0），C（0，3），
把 B、C 坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为 x=2，P（2，﹣1），
设 M（2，t），且 C（0，3），
∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，
∵△CPM 为等腰三角形，
∴有 MC=MP、MC=PC 和 MP=PC 三种情况，
①当 MC=MP 时，则有 =|t+1|，解得 t= ，此时 M（2， ）；
②当 MC=PC 时，则有 =2 ，解得 t=﹣1（与 P 点重合，舍去）或 t=7，此时 M（2，7）；
③当 MP=PC 时，则有|t+1|=2 ，解得 t=﹣1+2 或 t=﹣1﹣2 ，此时 M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣
2 ）；
综上可知存在满足条件的点 M，其坐标为（2， ）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；
（3）如图，过 E 作 EF⊥x 轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，
变式 7：（2017 内蒙古赤峰）△OPA 和△OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点 C、D、E 分别
是 OA、OB、AB 的中点．
（1）当∠AOB=90°时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；
（2）将△OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当∠AOB 是锐角时如图 2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出
证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△OQB 绕点 O 旋转，当∠AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点 G，使△ABG 为等边三角形如图 3，求
∠AOB 的度数．
【分析】（1）先判断出点 P，O，Q 在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的
中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先判断出 CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED 即可得出结论；
（3）先判断出 CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．21
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∵∠AEP=∠BEF，
∴△APE≌△BFE，
∴PE=EF，
∴点 E 是 Rt△PQF 的斜边 PF 的中点，
∴EP=EQ；
（2）成立，
证明：∵点 C，E 分别是 OA，AB 的中点，
∴CE∥OB，CE= OB，
∴∠DOC=∠ECA，
∵点 D 是 Rt△OQB 斜边中点，
∴DQ= OB，
∴CE=DQ，
同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，
∴∠ECA=∠BDE，
∵∠PCE=∠EDQ，
∴△EPC≌△QED，
∴EP=EQ；
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