【课标解读】
所谓探究性问题,是指问题的条件或结论尚不明确,需通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.
【解题策略】
从讨论问题入手→分析解决办法→进行实验探究→综合分析问题→得到结论
【考点深剖】
★考点一 三角形综合探究
【典例 1】（2018·湖北江汉·10 分）问题：如图①，在 Rt
△
ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，
C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系
式为 ；
探索：如图②，在 Rt
△
ABC 与 Rt
△
ADE 中，AB=AC，AD=AE，将
△
ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边
上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求 AD 的长．
【解答】解：（1）BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在
△
BAD 和
△
CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；
（3）作 AE⊥AD，使 AE=AD，连接 CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在
△
BAD 与
△
CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，
∴DE= =6 ，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE= DE=6．
★考点二 四边形综合探究
【典例 2】（2018·江苏镇江·9 分）（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使 BC 落在对角线 BD 上，折痕为 BE，
点 C 落在点 C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE 的度数为 °．
（2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9．
【画一画】
如图 2，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设为 MN（点 M，
N 分别在边 AD，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段
描清楚）；
【算一算】
如图 3，点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF，点 A，B 分别
落在点 A′，B′处，若 AG= ，求 B′D 的长；
【验一验】
如图 4，点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK 所在直线上，折痕为 HI，
点 A，B 分别落在点 A′，B′处，小明认为 B′I 所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说明理由．
【解答】解：（1）如图 1 中，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=46°，
由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC= ∠DBC=23°，
故答案为 23．学科*网
（2）【画一画】，如图 2 中，
【算一算】如图 3 中，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG= ，
∵CD=AB=4，∠C=90°，
∴在 Rt
△
CDF 中，CF= = ，
∴BF=BC﹣CF= ，
由翻折不变性可知，FB=FB′= ，
∴DB′=DF﹣FB′= ﹣ =3．
【验一验】如图 4 中，小明的判断不正确．
理由：连接 ID，在 Rt
△
CDK 中，∵DK=3，CD=4，
∴CK= =5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC=∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，
∴∠IB′C=90°=∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴ = = ，即 = = ，
★考点三 图形变换综合探究
【典例 3】（2018•临沂）将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形 AEFG．
（1）如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD=CD；
（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．
【分析】（1）先运用 SAS 判定
△
AED≌△FDE，可得 DF=AE，再根据 AE=AB=CD，即可得出 CD=DF；
（2）当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α
的度数．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，
∴∠AEB=∠ABE，
（2）如图，当 GB=GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M，
②当点 G 在 AD 左侧时，同理可得
△
ADG 是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°﹣60°=300°．学科*网
★考点四 圆的综合探究
【典例 4】（2018•湖北恩施•10 分）如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，
过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BE⊥AB，OE∥AD 交 BE 于 E 点，连接 AE、DE、AE 交
CD 于 F 点．
（1）求证：DE 为⊙O 切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，sin∠ADP= ，求 AD；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE 为⊙O 切线；
（2）设 AP=a，
∵sin∠ADP= = ，
∴AD=3a，
∴PD= = =2 a，
∵OP=3﹣a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2 a）2，
9=9﹣6a+a2+8a2，
a1= ，a2=0（舍），
当 a= 时，AD=3a=2，
∴AD=2；
【讲透练活】
变式 1：（2016·浙江省湖州市·3 分）如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边
BC 上取一点 D，连结 AD，使得∠DAC=∠ACD．如图 3，将
△
ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落
在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED．则 BE 的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】只要证明
△
ABD∽△MBE，得 = ，只要求出 BM、BD 即可解决问题．
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴ = ，即 = ，
∴DM= ，MB=BD﹣DM= ，
∵∠ABM=∠C=∠MED，
∴A、B、E、D 四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，
∴ = ，
∴BE= = = ．[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
故选 B．
变式 2：（2018·湖北咸宁·10 分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们
就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图 1，已知 Rt
△
ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，使四边形 ABCD
是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线 BD 平分∠ABC．
求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；
（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFCH 的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接 EG，若
△
EFG 的面积为
2 ，求 FH 的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2 ．
【详解】（1）由图 1 知，AB= ，BC=2 ，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，
当∠ACD=90°时，
△
ACD∽△ABC 或
△
ACD∽△CBA，
∴ 或 ，
∴CD=10 或 CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5 或 AD=10，
（2）∵∠ABC=80°，BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；
变式 3：（2018·浙江宁波·14 分）如图 1，直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，点
C 是线段 OA 上一动点（0＜AC＜ ）．以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D，交线段
AB 于点 E，连结 OE 并延长交⊙A 于点 F．
（1）求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值；
（2）如图 2，连结 CE，当 CE=EF 时，
①求证：
△
OCE∽△OEA；
②求点 E 的坐标；
（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE•EF 的最大值．
【考点】待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理
【解答】解：∵直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），
∴﹣ ×4+b=0，
∴b=3，
∴直线 l 的函数表达式 y=﹣ x+3，
∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在 Rt
△
AOB 中，tan∠BAO= = ；
（2）①如图 2，连接 DF，∵CE=EF，
∴∠CDE=∠FDE，
∴∠CDF=2∠CDE，
∵∠OAE=2∠CDE，
∴∠OAE=∠ODF，
∵四边形 CEFD 是⊙O 的圆内接四边形，
∴∠OEC=∠ODF，
∴∠OEC=∠OAE，
∵∠COE=∠EOA，
∴△COE∽△EOA，
②过点 E⊥OA 于 M，
由①知，tan∠OAB= ，
设 EM=3m，则 AM=4m，
∴OM=4﹣4m，AE=5m，
∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴
OC=4﹣5m，
由①知，
△
COE∽△EOA，
∴ ，
∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，
∵E（4﹣4m，3m），
∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，
∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，
∴m=0（舍）或 m= ，
∴4﹣4m= ，3m= ，
∴（ ， ），
连接 FH，
∵EH 是⊙O 直径，
∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，
∵∠OEG=∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴ ，
∴OE•EF=HE•EG=2r（ ﹣r）=﹣2（r﹣ ）2+ ，
∴r= 时，OE•EF 最大值为 ．学科*网
变式 4：（2018·浙江衢州·12 分）如图，Rt
△
OAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，8），直线
CD 交 AB 于点 D（6，3），交 x 轴于点 C（12，0）．
（1）求直线 CD 的函数表达式；
（2）动点 P 在 x 轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l
垂直于 x 轴，设运动时间为 t．
①点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由；
②请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q
为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值．
【考点】一次函数、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理
【解答】解：（1）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ，∴直线 CD 的解析式为
y=﹣ x+6．
（2）①如图 1 中，作 DP∥OB，则∠PDA=∠B．
∵DP∥OB，∴ = ，∴ = ，∴PA= ，∴OP=6﹣ = ，∴P（ ，0），根据对称性可知，当
AP=AP′时，P′（ ，0），∴满足条件的点 P 坐标为（ ，0）或（ ，0）．
②如图 2 中，当 OP=OB=10 时，作 PQ∥OB 交 CD 于 Q．
如图 3 中，当 OQ=OB 时，设 Q（m，﹣ m+6），
则有 m2+（﹣ m+6）2=102，解得 m= ，∴点 Q 的横坐标为 或 ，设点 M 的横
坐标为 a，则有： = 或 = ，∴a= 或 ，∴满足条件的 t 的
值为 或 ．
变式 5：（2018·湖北十堰·10 分）已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM，EM．
（1）如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写
出结论；
（2）如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若 AB=13，CE=5，请画出图
形，并直接写出 MF 的长．
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．
理由：如图 1 中，延长 EM 交 AD 于 H．
∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，
∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH=∠MFE，
∵AM=MF，∠AMH=∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH=ME，AH=EF=EC，
∴DH=DE，
∵∠EDH=90°，
∴DM⊥EM，DM=ME．
（2）如图 2 中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．
（3）如图 3 中，作 MR⊥DE 于 R．
在 Rt
△
CDE 中，DE= =12，
∵DM=NE，DM⊥ME，
∴MR=⊥DE，MR= DE=6，DR=RE=6，
在 Rt
△
FMR 中，FM= = =
如图 4 中，作 MR⊥DE 于 R．
在 Rt
△
MRF 中，FM= = ，
故满足条件的 MF 的值为 或 ．学科*网
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