一、选择题（10×3=30 分）
1. （湖北荆门·3 分）如图，在矩形 ABCD 中（AD＞AB），点 E 是 BC 上一点，且 DE=DA，AF⊥DE，垂足为点
F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF
【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应
边相等进行判断即可．
（C）由△AFD≌△DCE，可得 AF=CD，
由矩形 ABCD，可得 AB=CD，
∴AB=AF，故（C）正确；
（D）由△AFD≌△DCE，可得 CE=DF，
由矩形 ABCD，可得 BC=AD，
又∵BE=BC﹣EC，
∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；
故选（B）
2. （2016·山东省滨州市·3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，且 OC∥BD，AD 分别与 BC，
OC 相交于点 E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB 平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【解答】解：①、∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
②、∵∠AOC 是⊙O 的圆心角，∠AEC 是⊙O 的圆内部的角角，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴CB 平分∠ABD，
④、∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点 O 为圆心，
∴AF=DF，
故选 D。学科*网
3. （2017 山东泰安）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．若 AB=12，
BM=5，则 DE 的长为（ ）
A．18 B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出 CG 的长，再求出 DG 的长，根据△MCG∽△EDG 即可得出
结论．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12﹣5=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴ = ，即 = ，解得 CG= ，
∴DG=12﹣ = ．
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴ = ，即 = ，解得 DE= ．
故选 B．
4. （2017 四川南充）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给
出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是
（ ）.
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【解答】解：设 BE，DG 交于 O，
∵四边形 ABCD 和 EFGC 都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE 和△DCG 中，
，
5. （2017 广西）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C，M 是 BC
的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图连接 PC．思想求出 PC=2，根据 PM≤PC+CM，可得 PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接 PC．
在 Rt△ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′ B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC= A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即 PM≤3，
∴PM 的最大值为 3（此时 P、C、M 共线）．
故选 B．
6. （2017 湖北随州）如图，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，E 为 CD 边的中点，将△ADE 绕点 E 顺时针旋转 180°，
点 D 的对应点为 C，点 A 的对应点为 F，过点 E 作 ME⊥AF 交 BC 于点 M，连接 AM、BD 交于点 N，现有下列结
论：
①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点 N 为△ABM 的外心．其中正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；MA：三角形的
外接圆与外心；R2：旋转的性质．
【解答】解：∵E 为 CD 边的中点，
∴DE=CE，
又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=FE，
又∵ME⊥AF，
又∵AB＜BC，
∴AM=DE+BM 不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2=CM×CF，
又∵EC=DE，AD=CF，
∴DE2=AD•CM，故③正确；
∵∠ABM=90°，
∴AM 是△ABM 的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当 BM∥AD 时， = ＜1，
∴N 不是 AM 的中点，
∴点 N 不是△ABM 的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有 2 个，
故选：B．
7. （2017 贵州）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交 BD 于 O，则∠DOC 的度数为
（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【分析】如图，连接 DF、BF．如图，连接 DF、BF．首先证明∠FDB= ∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，
推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 DF、BF．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选 A．学科*网
8. （2018·湖北省孝感·3 分）如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE
⊥BD 于点 E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H．则下列结论：①∠ADC=15°；
②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（ ﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD 是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG，故②错误；
记 AH 与 CD 的交点为 P，
由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF 和△BAH 中，
∵ ，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF=AH，故③正确；
∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，故④正确；
9. （2017 齐齐哈尔）如图，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC=10，BC=12，沿底边 BC 上的高 AD 剪成两个
三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是（ ）．【出处：21 教育
名师】
A．10cm，4 cm，2 cm B．20cm，2 cm，4 cm
C．10cm，2 cm，4 cm D．10cm，4 cm，4 cm
【考点】PC：图形的剪拼．
【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．
【解答】解：如图： ，
则 EC=8cm，BE=2BD=12cm，
则 BC=4 cm，
如图③所示：BD=6cm，
由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，
故 AC= =2 cm，
故答案为：10cm，2 cm，4 cm．故选 C
10. （2016·四川攀枝花） 如图，正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，
使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后折痕 DE 分别交 AB、AC 于点 E、G，连结 GF，给出
下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=2OG；⑥若 S△OGF=1，
则正方形 ABCD 的面积是 6+4 ，其中正确的结论个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】四边形综合题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，
故①正确．
∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜ AB，
∴ ＞2，
故②错误．
∵∠AOB=90°，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形 AEFG 是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF= OG，
∴BE= EF= × OG=2OG．
故⑤正确．
∵四边形 AEFG 是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF 时等腰直角三角形．
∵S△OGF=1，
∴ OG2=1，解得 OG= ，
∴BE=2OG=2 ，GF= = =2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2 +2，
∴S 正方形 ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥错误．
∴其中正确结论的序号是：①④⑤．
故选 B．
二、填空题（6×4=24 分）.
11. （2018·辽宁省盘锦市）如图①，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以相同的速度，沿 A→B→C→D→A
方向运动到点 A 处停止．设点 P 运动的路程为 x，△PAB 面积为 y，如果 y 与 x 的函数图象如图②所示，则
矩形 ABCD 的面积为 24 ．
【解答】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10﹣4=6，所以矩形 ABCD 的面积是 4×6=24．
故答案为：24．
12. （2018·湖北咸宁·3 分）如图，已知∠MON=120°，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线
OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点 A 关于直线 OM′的对称
点 C，画直线 BC 交 OM′于点 D，连接 AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD 的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形 OADC 为菱形；
④△ACD 面积的最大值为 a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①③④
④先证明△ACD 是等边三角形，当 AC 最大时，△ACD 的面积最大，当 AC 为直径时最大，根据面积公式计算
后可作判断．
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，
∴△AOC 是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，∴△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD=CD，∴OC=OA=AD=CD，∴四边形 OADC 为菱形，故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，∴△ACD 是等边三角形，
当 AC 最大时，△ACD 的面积最大，
∵AC 是⊙O 的弦，即当 AC 为直径时最大，此时 AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD 面积的最大值是： AC2= ，故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．学科*网
13. （2018·浙江宁波·4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点 E，M 是 AB 的中点，
连结 MD，ME．若∠EMD=90°，则 cosB 的值为 .
【考点】菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质.
【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H．首先证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可解决
问题．
【解答】解：延长 DM 交 CB 的延长线于点 H．
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，
∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，
∴x= ﹣1 或﹣ ﹣1（舍弃），
∴cosB= = ，
故答案为 ．
14. （2018·山东潍坊·3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，
点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'C′D′的位置，B'C′与 CD 相
交于点 M，则点 M 的坐标为 ．
【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证 Rt△ADM≌Rt△AB′M 得∠
DAM= ∠B′AD=30°，由 DM=ADtan∠DAM 可得答案．
【解答】解：如图，连接 AM，
15. （2018·浙江宁波·4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结
PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P．当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．
【考点】切线的性质、正方形的性质、勾股定理
【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时．设
切点为 K，连接 PK，则 PK⊥AD，四边形 PKDC 是矩形；
【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在 Rt△PBM 中，PB= =4 ．
综上所述，BP 的长为 3 或 4 ．
16. （2018·湖北省孝感·3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（﹣l，1），
点 B 在 x 轴正半轴上，点 D 在第三象限的双曲线 y= 上，过点 C 作 CE∥x 轴交双曲线于点 E，连接 BE，则
△BCE 的面积为 ．
【解答】解：过 D 作 GH⊥x 轴，过 A 作 AG⊥GH，过 B 作 BM⊥HC 于 M，
设 D（x， ），
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG=DH=﹣x﹣1，
∴DG=BM，
∴1﹣ =﹣1﹣x﹣ ，
x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），CH=DG=BM=1﹣ =4，
∵AG=DH=﹣1﹣x=1，
∴点 E 的纵坐标为﹣4，
当 y=﹣4 时，x=﹣ ，
∴E（﹣ ，﹣4），
∴EH=2﹣ = ，
∴CE=CH﹣HE=4﹣ = ，
∴S△CEB= CE•BM= × ×4=7；
故答案为：7．
三、解答题（共 46 分）.
17. （2018·辽宁省阜新市）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC 于点 D．
（1）如图 1，点 E，F 在 AB，AC 上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
（2）点 M，N 分别在直线 AD，AC 上，且∠BMN=90°．
①如图 2，当点 M 在 AD 的延长线上时，求证：AB+AN= AM；
②当点 M 在点 A，D 之间，且∠AMN=30°时，已知 AB=2，直接写出线段 AM 的长．
②在 Rt△ABD 中，AD=BD= AB= ．
∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°﹣30°=60°．在 Rt△BDM 中，DM= = ，∴AM=AD﹣
DM= ﹣ ．学科*网
18. （2018 年四川省南充市）如图，C 是⊙O 上一点，点 P 在直径 AB 的延长线上，⊙O 的半径为 3，PB=2，
PC=4．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线．
（2）求 tan∠CAB 的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【解答】解：（1）如图，连接 OC、BC
∵⊙O 的半径为 3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP 是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC 是⊙O 的切线．
19. （2018·浙江省台州·12 分）如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AC，BC 上，
且 CD=CE．
（1）如图 1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求△CGF 的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD 即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，最后用面积公
式即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ACE 和△BCD 中， ，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（3）如图 3，∵AC=2 ，
∴BC=AC=2 ，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得，BD= =3，
∵点 F 是 BD 中点，
∴CF=DF= BD= ，
同理：EG= AE= ，
连接 EF，过点 F 作 FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点 F 是 BD 的中点，
∴FH= CD= ，
∴S△CEF= CE•FH= ×1× = ，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF= CF•ME= × ME= ME，
∴ ME= ，
∴ME= ，
∴GM=EG﹣ME= ﹣ = ，
∴S△CFG= CF•GM= × × = ．
20. （2018·辽宁省沈阳市）（10.00 分）如图，在平面直角坐标系中，点 F 的坐标为（0，10）．点 E 的坐
标为（20，0），直线 l1 经过点 F 和点 E，直线 l1 与直线 l2 、y= x 相交于点 P．
（1）求直线 l1 的表达式和点 P 的坐标；
（2）矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴的正半轴上，点 A 与点 F 重合，点 B 在线段 OF 上，边 AD 平行于 x 轴，且
AB=6，AD=9，将矩形 ABCD 沿射线 FE 的方向平移，边 AD 始终与 x 轴平行．已知矩形 ABCD 以每秒 个单位
的速度匀速移动（点 A 移动到点 E 时止移动），设移动时间为 t 秒（t＞0）．
①矩形 ABCD 在移动过程中，B.C.D 三点中有且只有一个顶点落在直线 l1 或 l2 上，请直接写出此时 t 的值；
②若矩形 ABCD 在移动的过程中，直线 CD 交直线 l1 于点 N，交直线 l2 于点 M．当△PMN 的面积等于 18 时，
请直接写出此时 t 的值．
【解答】解：（1）设直线 l1 的表达式为 y=kx+b
∵直线 l1 过点 F（0，10），E（20，0）
∴
（2）①如图，当点 D 在直线上 l2 时
∵AD=9
∴点 D 与点 A 的横坐标之差为 9
∴将直线 l1 与直线 l2 交解析式变为
x=20﹣2y，x= y
∴ y﹣（20﹣2y）=9
解得
y=
则点 A 的坐标为：（ ， ）
则 AF=
∵点 A 速度为每秒 个单位
∴t=
如图，当点 B 在 l2 直线上时
②如图，
设直线 AB 交 l2 于点 H
设点 A 横坐标为 a，则点 D 横坐标为 a+9
由①中方法可知：MN=
此时点 P 到 MN 距离为：
a+9﹣8=a+1
∵△PMN 的面积等于 18
∴
解得
a1= ，a2=﹣ （舍去）
∴AF=6﹣
则此时 t 为
当 t= 时，△PMN 的面积等于 18。学科*网
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