数学试卷答案 第 1 页(共 6 页)
徐州市 2019~2020 学年度高三年级考前模拟检测
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题
1. 4 2. 6 3.15 4.2 5. 1
12 6. 2 33 7.5 8. 15 π3
9.56 10. 7
2− 11. 2− 12. 2 13. 2
3
14. 1
2e−
二、解答题
15.( 1)在 中, E , F 分别是棱 AB , BC 的中点,所以 //E F A C ,…2 分
又在三棱柱 111A B C A B C− 中, 11//AC A C ,
所以 11//AC E F ,…………………………………………………………4 分
又因为 11AC 平面 1B E F , EF 平面 ,
所以 11//AC 平面 .…………………………………………………8 分
(2)因为侧面 11ABBA ⊥ 底面 ABC ,侧面 11ABBA 底面 ABCAB= ,
AB AC⊥ , AC 平面 ,所以 AC ⊥ 平面 11A B B A ,……………12 分
又因为 1BE 平面 ,所以 1AC B E⊥ .…………………………14 分
16.(1)在 ADC 中,由余弦定理得
4
1
222
)6(22
2cos
222222
=
−+=
−+= CDAD
ACCDADADC ,……………………2 分
所以
4
15
4
11cos1sin
2
2 =
−=−= ADCADC ,……………………4 分
因为
4
6cos =BCD , BC D 是三角形 BC D 的内角,
所以
4
10
4
61cos1sin
2
2 =
−=−= BCDBCD ,……………………6 分
所以 )sin(sin BCDADCB −=
BCDADCBCDADC −= sincoscossin
4
10
4
1
4
6
4
15 −=
8
10= . …………………………………………………………8 分
(2)在 BCD 中,由正弦定理得
BDC
BC
B
CD
BCD
BD
== sinsinsin
,…………10 分
4
8
10
4
102
sin
sin =
=
= B
BCDCDBD ,
ABC△数学试卷答案 第 2 页(共 6 页)
62
8
10
4
152
sin
sin =
=
= B
BDCCDBC , …………………………………12 分
所以
2
153
8
106262
1sin2
1 === BBCABS ABC . …………14 分
17.(1)以 O 为原点,ON 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,
则 ( 3,0 )N , 1( , 1)2A , 3( ,2 )2C ,
所以直线 CN 的方程为 4 ( 3)3yx= − − ,
MN 所在圆的方程为 229xy+=,
联立
22
4 (3),3
9,
yx
xy
= −−
+=
解得
21 ,25
72 ,25
x
y
=
=
,
当 PN 过点 C 时, 2172(,)2525P , 24sin 25 = ,
所以 s i n 的取值范围是 24(0 , )25
.……………………………………………6 分
(2) MP 的长为 π3()2 − ,设 (3cos,3sin)P ,
则 222 (3cos3)(3sin)1818cosPN =−+=− ,……………………………8 分
所以总造价 π()33()(1818cos)2faa=−+−
9π(18918cos)2a =+−− , 0(0,) , 0
24sin 25 = ,…10 分
所以 ()(18sin9)fa =−,
令 ()0f = 得, 124sin(0,) 225 = ,所以 π
6 = ,列表如下:
π(0,)6 π
6 0
π(,)6
()f − 0 +
()f ↘ 极小值 ↗
所以当 时, 有极小值,也是最小值.
答:当 θ 为 π
6
时,总造价最少.……………………………………………………14 分
18.(1)设椭圆的焦距为 2c.
O
M
N
P
A B
C D
θ
(第 17 题)
x
y 数学试卷答案 第 3 页(共 6 页)
由题意,得 22
222
1
2
7
ce a
ab
abc
==
+=
=+
,
,
,
解得
2
2
4
3.
a
b
= =
,
所以椭圆的方程为
22
143
yx +=.…………………………………………4 分
(2)因为 B, F 在直线 PB 上,所以直线 PB 的方程为 1yx
cb+=− .
解方程组 22
22
1
1
yx
cb
yx
ab
,
,
+= −
+=
得 ( )
2
1 22
22
1 22
2
+
+
acx ac
bacy ac
,
,
=
− =
或 2
2
0x
yb
,
,
= =−
所以点 P 的坐标为 ( )222
2222
2()++
bacac
acac , − .…………………………………8 分
因为直线 PB 的斜率 0()
0PB
b bk cc
−−==− ,
直线 PA 的斜率
( ) ( )
22
2222
2222
22
0+
22(+)
+
PA
b ac
b acack a ca ca acaac
− − −==++
( ) ( ) ( )2222
222(2(+))()()
b acb acb ac
aacaca aca ac
−−−=== +++ ,…………12 分
又因为直线 PA 和 PB 的斜率之积为 1
6 ,
所以 ( ) ( ) ( )( ) ( )2222
1=()()()6
b acbacacacacb
a accac acac acac
−−−−−===+++ ,
化简得 226 13 6 (3 2 )(2 3 ) 0a ac c a c a c− + = − − = ,
因为 ac ,所以 23ac= ,
所以椭圆的离心率 2
3e = .……………………………………………………16 分
19.(1)当 1a = 时, 2( )e xfxxx =+− , ( ) e 2 1xf x x = + − ,
则 (0)1f = , (0)0f = ,
所以曲线 ()yfx= 在点(0,(0))f 处的切线方程为 1y = .………………2 分
(2)因为 ()fx在[1,2] 上单调递增,所以 ( ) 0fx ≥ 在 上恒成立,
即 ( ) e 2 0xf x x a = + − ≥ 在 上恒成立,
所以 e2xax+≤ 在 上恒成立,………………………………………4 分
又因为函数 e2xyx=+在 上单调递增,
所以 e2a +≤ ,当且仅当 e2a =+, 1x = 时, (1) 0f = ,
所以 a 的取值范围为( ,e 2]− + .…………………………………………6 分
(3)不等式 2( ) 1f x x+即 e1x ax−,
令 ( ) e 1xg x ax= − − ,则 ( ) exg x a =−, 数学试卷答案 第 4 页(共 6 页)
①当 1a ≤ 时, ( ) e 0 xg x a = − 在 (0 , )+ 上恒成立,
所以 ()gx 在 上单调增,所以 ( ) ( 0 ) 0g x g =,不符合题意;…10 分
②当 1a 时,由 ( ) 0gx = 得 lnxa= ,列表如下:
x ( 0 ,l n )a ln a ( l n , )a +
()gx − 0 +
()gx ↘ 极小值 ↗
令 lnba= ,在 上,总有 ( ) ( 0 ) 0g x g =,符合题意,
综上所述, a 的取值范围为 (1, )+ .……………………………………16 分
20.(1)当 1n = 时, 1423a a a a+ = + ,所以 4 5a =− ,
当 2n = 时, 2534a a a a+ = + ,所以 5 2a = .……………………………2 分
(2)因为 312nnnnaaaa ++++=+ ,
当 2n ≥ 时, 121nnnnaaaa−+++=+ ,
两式相加得, 131 2nnna a a−+++= ,…………………………………………6 分
即 3111nnnnaaaa+++−−=−,
所以 21{}na − 为等差数列,设公差为 1d , 2{}na 为等差数列,设公差为 2d .
所以 2 +22 322 12 +222 32 121() () ()()nnnnnnnnamaamaaam aadmd+++++−+=−+−=+ ,
所以 221{}nnama ++ 成等差数列.……………………………………………10 分
(3)设奇数项所成等差数列的公差为 ,偶数项所成等差数列的公差为 .
①当 n 为奇数时, 1
16 2n
nad−=+ , 12
13 2n
nad+
−= −+ ,
则 12
116322
nndd−−+ −+ ,即 1221()182()0n dddd−++− ,
所以 12
1221
0,
1()90,
dd
dddd
−
−++−
≥ ,故 120dd− ≥ .……………………12 分
②当 为偶数时, 23(1) 2n
nad= −+− , 116 2n
nad+ =+ ,
则 213(1)622
nndd− +−+ ,即 122()1820n ddd−++ ,
所以 12
122
0,
2 () 1820,
dd
ddd
−
−++
≤ ,故 12
1
0,
9,
dd
d
−
−
≤ .
综上可得, 129dd= − . …………………………………………………14 分
又 3412121 3 233aaa addd+= ++ += += − ,所以 1 18d =− .
所以当 为奇数时, 16 ( 18) 15 92n
nan−= + − = − ;
当 为偶数时, 3 ( 1) ( 18) 15 92n
nan= − + − − = − .
故数列{}na 的通项公式为 15 9nan=−, *nN .…………………………16 分
数学试卷答案 第 5 页(共 6 页)
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数学Ⅱ参考答案与评分标准
21.A.(1)由条件知, 3134
2124
aa
bb
+ == +
,所以 3 4 ,
2 4 ,
a
b
+=
+=
解得 1,
2.
a
b
=
=
…5 分
(2)由(1)知, 31
22
=
A ,
矩阵 A 的特征多项式为 31()(3)(2)2(1)(4)22f
−−==−−−=−−−−
,
令 ( ) 0f = ,解得 的特征值为 1 和 4.……………………………………10 分
B.(1)在 O A B△ 中, π(4 , )6A , π(2 , )2B ,
由余弦定理,得 22 π π42242cos()23 26AB =+−−= .………………5 分
(2)直线 l 的普通方程为 3240xy−+= ,
点 A 的直角坐标为 (2 3,2 ) ,
所以点 到直线 的距离为
22
|323224 |6 77(3)(2)
−+ =
+−
.…………………10 分
C.(1)不等式 ()2fx 即 |1|2x + ,则 12x + 或 12x +− ,解得 1x 或 3x − ,
所以不等式 ()2fx 的解集为(,3)(1,)−−+ . …………………………4 分
(2)
(1)2, 1,
1( )|1||1|(1) , 1,
1(1)2, .
axx
g xxaxa xx a
axx a
−+− −
=+++=−−−
++ −
≤ ≤
由 1a 可知,函数 ()gx 在 1(,) a−− 上单调减,在 1(,) a−+ 上单调增,
所以 的最小值为 1 1 1( ) 1 2g aa− = − = ,解得 2a = .……………………10 分
22.( 1)取 AC 的中点 O ,连接 FO , BO ,
在正三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中, FO ⊥ 平面 ABC , BOAC⊥ ,
以{,,}OA OB OF 为基底建立空间直角坐标系Oxyz− 如图所示,
则 (100)A ,, , (0 3 0)B , , , (101)E ,, , (002)F ,, ,
1(030)B , , , 1(102)C − ,, ,
所以 ( 1 0 1)EF =−,, , 1 ( 1 3 2)BC = − −, , ,
所以 1
1
1
3cos = 4| || |
EF BCEF BC
EF BC
=, ,
z
x
y
O
E
F
BA
C1
A1 B1
C
G数学试卷答案 第 6 页(共 6 页)
所以异面直线 1BC 与 EF 所成角的余弦值为 3
4
;………………4 分
(2)因为 G 为 AB 的中点,所以 13( 0 )22G , , ,则 ( 1 0 1)EF =−,, , 13(1)22EG =−− , ,
设平面 EFG 的法向量为 1 111()n x y z= , , ,
平面 1E G B 的法向量为 2 2 2 2()n x y z= , , ,
则 1
1
0
0
n E F
n E G
= =
,所以
11
11
0
13 022
xz
xyz
−+=−+−=
,
令 1 1z = ,得 1 (1 31)n = , ,,同理 2 ( 3 1 0 )n = ,,
所以 12
12
12
15cos, 5||||
nnnn
nn
== ,
所以二面角的大小与向量 12nn, 所成的角相等或互补,
由图形知,二面角 1B EG F−−的余弦值为 15
5
.………………10 分
23.(1)因为 2
1n n na a a+ =−,即 1 1n
n
n
a aa
+ =− .
要证 11 12
n
n
a
a
+ ≤ ,只需证 10 2na ≤ . ………………………………………… 2 分
用数学归纳法证明:
当 1n = 时, 1
1
2a = ,命题成立;
假设当 nk= ( 1k ≥ , *k N )时命题成立,即 10 2ka ≤ ,
则当 1nk=+时,有 ( )2
2
1
11
24k k k ka a a a+ = − = − − + ,
由于 ,所以 1
10 4ka + ≤ ,显然有 1
10 2ka + ≤ ,
所以当 时,命题也成立.
所以对任意 *nN ,都有 成立,即 得证. …………4 分
(2)因为 1
1
ACC!
k
kkn
nnk k nk
−
−==, ……………………………………………………6 分
所以 11
1C (21)(21) C (21)kkkk
nnnnnkaana −−
−−=−− ,
因此 122C (2 1) 2C (2 1)C (2 1)C (2 1)kknn
n nn nn nn naak an a− +− + +− + +−
( ) 1(21)2 n
nnana −=− .
由(1)知, 10 2na ≤ ,所以 ( ) 1(2 1) 2 0n
nna n a −− ≤ ,得证.……………10 分