《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．cos30°的相反数是（ ）
A． B． C． D．
6．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
8．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（ ）
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A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
9．小明沿着坡度为1：的坡面向下走了2米，那么他下降高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为（ ）
A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．（7+α）米
二．填空题（共5小题）
11．如图，若点A的坐标为，则sin∠1＝ ．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40° cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
13．已知sinα＝，则tanα＝ ．
14．已知α为一锐角，且cosα＝sin60°，则α＝ 度．
15．如果，那么锐角A的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作
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ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝ ；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
18．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．
19．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB的长？
20．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）
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2019年人教版九下数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，
∴AB＝，
A．sinA＝＝＝，故此选项错误；
B．cosA＝＝，故此选项错误；
C．tanA＝＝，故此选项正确；
D．cotA＝＝，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2．【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．
3．【分析】过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE＝3，PE＝m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．
【解答】解：过点P作PE⊥x轴于点E，
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则可得OE＝3，PE＝m，
在Rt△POE中，tanα＝＝，
解得：m＝4，
则OP＝＝5，
故sinα＝．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．
4．【分析】设BC＝2x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝x，代入tanB＝求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝2x，AB＝3x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∴tanB＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
5．【分析】根据特殊角的三角函数值得出cos30° 的值，然后根据相反数的定义可得出答案．
【解答】解：∵cos30°＝，
∴它的相反数为﹣．
故选：C．
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【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容，一定要掌握．
6．【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
7．【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，
∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
8．【分析】由∠ABD度数求出∠EBD度数，进而确定出∠E＝90°，在直角三角形BED中，利用锐角三角函数定义即可求出ED的长．
【解答】解：∵∠ABD＝145°，
∴∠EBD＝35°，
∵∠D＝55°，
∴∠E＝90°，
在Rt△BED中，BD＝500米，∠D＝55°，
∴ED＝500cos55°米，
故选：C．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
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9．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．
【解答】解：∵坡度tanα＝＝1：．
∴α＝30°．
∴下降高度＝坡长×sin30°＝1米．
故选：A．
【点评】本题主要考查特殊坡度与坡角的关系．
10．【分析】利用三角函数即可直接求解．
【解答】解：在直角△ABC中，tanA＝，
则BC＝AC•tanA＝7tanα（米）．
故选：C．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能利用三角函数的定义解直角三角形．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【解答】解：如图，，
由勾股定理，得
OA＝＝2．
sin∠1＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理得出OA的长是解题关键．
12．【分析】首先根据正余弦的转换方法，得cos40°＝sin50°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
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【点评】掌握正余弦的转换方法，以及正弦值的变化规律．
13．【分析】首先根据题意画出图形，由sinα＝，可设AB＝5x，BC＝3x，然后利用勾股定理可求得AC的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：设∠A＝α，
∵sinα＝，
∴＝，
设AB＝5x，BC＝3x，
则AC＝＝4x，
∴tanα＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数的关系．此题难度不大，注意掌握三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．
14．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA＝cosB，那么∠A+∠B＝90°即可得到结论．
【解答】解：∵sin60°＝cos（90°﹣60°），
∴cosα＝cos（90°﹣60°）＝cos30°，
即锐角α＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．
15．【分析】根据30°角的余弦值等于解答．
【解答】解：∵cosA＝，
∴锐角A的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°
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的三角函数值是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
（2）由于tanA＝，所以可设BC＝3x，AC＝4x，则AB＝5x，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
17．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
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假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
18．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式＝﹣+2××1
＝．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
19．【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B＝45°，即可求得BD的长，继而求得答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∴AD＝＝＝2，
在Rt△CDB中，∠B＝45°，CD＝2，
∴CD＝DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+2．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20．【分析】（1）连结PO．先由线段垂直平分线的性质得出PO＝PA＝45cm，则OC＝OB+BC＝36cm
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，然后利用勾股定理即可求出PC＝＝27cm；
（2）过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE＝DO•sin60°＝6，EO＝DO＝6，则FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝42．再解Rt△PDF，求出PF＝DF•tan30°＝42×＝14，则PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.68＞27，即可得出结论．
【解答】解：（1）当PA＝45cm时，连结PO．
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PO＝PA＝45cm．
∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°，
∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝＝27cm；
（2）当∠AOC＝120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．
在Rt△DOE中，∵∠DOE＝60°，DO＝AO＝12，
∴DE＝DO•sin60°＝6，EO＝DO＝6，
∴FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝6+24+12＝42．
在Rt△PDF中，∵∠PDF＝30°，
∴PF＝DF•tan30°＝42×＝14，
∴PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.6＞27，
∴点P在直线PC上的位置上升了，此时PC的长约是34.6cm．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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