《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC•tanB＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．sin30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
7．在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上，则图中∠ACB的正切值为（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC
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转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
9．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）间的关系为s＝10t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）
A．72m B． m C．36m D． m
10．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i＝1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为α，已知sinα＝，BE＝1.6m，此学生身高CD＝1.6m，则大树高度AB为（ ）m．
A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．
12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 ．
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13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝ ．
14．在Rt△ABC中，，则cosB的值等于 ．
15．已知sinA＝，则锐角∠A＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
18．计算：（﹣1）﹣1+﹣6sin45°+（﹣1）2009．
19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝6．求AB的长．
20．如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB＝5米，且．
（1）求钢缆CD的长度；
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
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2019年人教版九下数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】由DE＝2，OE＝3可知AO＝OD＝OE+ED＝5，可得AE＝8，连接BD、CD，可证∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，∠DBA＝∠DCA＝90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．
【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴＝，＝，
由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°，
∵DE＝2，OE＝3，
∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8，
tanC•tanB＝tan∠ADB•tan∠ADC＝＝＝＝＝＝4．
故选：C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
2．【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；
再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵sin30°＝cos60°，
又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小，
∴cos16°＞cos43°＞sin30°．
故选：C．
【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律．
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3．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故选：B．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
4．【分析】利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝cos（90°﹣∠A）＝sinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，
∴cosB＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA；同角的三角函数关系式：sin2A+cos2A＝1．
5．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin30°＝，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
6．【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器．
【解答】解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．
故选：A．
【点评】
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本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值．
7．【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明△FDE∽△ABC，推出∠ACB＝∠DFE，由此即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理 可求出：BC＝2，AC＝2，DF＝，DE＝，
∴＝＝，＝，
∴＝＝，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE＝∠ACB，
∴tan∠DFE＝tan∠ACB＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题．
8．【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了鱼竿转过的角度．
【解答】解：∵sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°．
∵＝＝，
∴∠C′AB′＝60°．
∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
【点评】此题中BC、B′C′都是我们所要求角的对边，而AC是斜边，所以本题利用了正弦的定义．解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
9．【分析】首先设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，
∵一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，
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∴CA＝x，BC＝x，
在直角△ABC中，由勾股定理得：
AB2＝BC2+AC2，
x2+（x）2＝722．
解得：x＝36．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及坡角问题，理解坡比的意义，应用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键．
10．【分析】根据题意结合坡度的定义得出C到AB的距离，进而利用锐角三角函数关系得出AB的长．
【解答】解：如图所示：过点C作CG⊥AB延长线于点G，交EF于点N，
由题意可得：＝＝，
解得：EF＝2，
∵DC＝1.6m，
∴FN＝1.6m，
∴BG＝EN＝0.4m，
∵sinα＝＝，
∴设AG＝3x，则AC＝5x，
故BC＝4x，即8+1.6＝4x，
解得：x＝2.4，
故AG＝2.4×3＝7.2m，
则AB＝AG﹣BG＝7.2﹣0.4＝6.8（m），
答：大树高度AB为6.8m．
故选：D．
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【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡度的定义，正确得出C到AB的距离是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，
tanα＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．【分析】首先明确cos60°＝，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cos60°＝，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∵∠A是锐角，
∴60°≤∠A＜90°．
故答案为：60°≤A＜90°．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
13．【分析】根据tanA＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
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∵tanA＝＝，
∴设a＝3x，则b＝4x，
则c＝＝5x．
sinA＝＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
14．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．
15．【分析】根据sin30°＝进行解答即可．
【解答】解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．【分析】（1）根据等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30°，得出x＝1；
（2）由直角三角形的性质，AB＝2，AC＝，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；
（3）当S＝时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C
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的位置关系，再求tanα值．
【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；
（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）
（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
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∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．
【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．
17．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
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假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
18．【分析】本题涉及乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝+1+2﹣6×﹣1＝0．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
19．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cosA＝9，
∵cosB＝，
∴设BD＝4x，则BC＝5x，
由勾股定理得，CD＝3x，
由题意的，3x＝3，
解得，x＝，
∴BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝9+4．
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【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．【分析】（1）根据三角函数可求得CD；
（2）过点E作EF⊥AB于点F．由∠EAB＝120°，得∠EAF＝60°，再根据三角函数求得AF，从而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB＝＝，
∴设DB＝4x，DC＝5x，
∴（4x）2+25＝（5x）2，
解得，
∴CD＝米，DB＝米．
（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．
∵∠EAB＝120°，∴∠EAF＝60°，
∴AF＝AE•cos∠EAF＝1.6×＝0.8（米），
∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+＝（米）．
∴灯的顶端E距离地面米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，运用三角函数可得出答案．
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