《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（ ）
A．8cm B． cm C． cm D． cm
2．已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（ ）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（ ）
A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．
9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（ ）
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A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）．
13．若0°＜α＜90°，，则sinα＝ ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
15．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于 度．
三．解答题（共6小题）
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16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
18．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
20．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
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21．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
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2019年人教版九下数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（ ）
A．8cm B． cm C． cm D． cm
【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，AC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴BC＝＝8cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．
2．已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
【分析】首先明确cos30°＝，sin80°＝cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
【解答】解：∵cos30°＝，sin80°＝cos10°，余弦函数随角增大而减小，
∴10°＜A＜30°．
故选：D．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；
还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即（）2+cos2A＝1，
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∴cos2A＝，
∴cosA＝或﹣（舍去），
∴cosA＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，得
cosA＝sinB＝．
由sin2A+cos2A＝1，得sinA＝＝，
tanA＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键．
5．在△ABC中，∠C＝90°，，则∠B为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据60°角的正弦值等于解答．
【解答】解：∵sin60°＝，
∴∠B＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°
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的三角函数值是解题的关键．
6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（ ）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：按MODE，出现：DEG，按sin20﹣cos20，＝后，显示：﹣0.597 7．
故选：C．
【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：如图：
∵cosA＝，
∴＝，
又∵AC＝，
∴BC＝＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键．
8．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（ ）
A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．
【分析】根据已知角的正切值表示即可．
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【解答】解：∵AC＝a，∠ABC＝α，在直角△ABC中tanα＝，
∴AB＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵cosα＝＝，
∴AB＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
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A．20 B．30 C．30 D．40
【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝20m，DE＝10m，
∴sin∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝20m，
∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．
故选：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为 ．
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【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：连接CD．
则CD＝，AD＝，
则tanA＝＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．
12．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是 ①④ （注：把所有正确命题的序号都填上）．
【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；
判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS；
一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；
半小时每个分裂成2个，则2小时由1个分裂为24个．
【解答】解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
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∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
【点评】此题涉及的知识的综合性较强．
综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识．
13．若0°＜α＜90°，，则sinα＝ ．
【分析】画出直角三角形，根据tanB＝＝设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理求出AB＝k，代入sinα＝sinB＝求出即可．
【解答】解：
如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，
tanB＝＝，
设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，
则sinα＝sinB＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ．
【分析】设BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理求出AC＝3x，代入tanB＝求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝3x，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
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【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．
15．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于 70 度．
【分析】根据sin60°＝解答．
【解答】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）＝，sin60°＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
【点评】此题比较简单，只要熟记特特殊角的三角函数值即可．
三．解答题（共6小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F
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的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）
（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）
（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
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∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．
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【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
18．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
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【解答】解：原式＝（）2﹣2×﹣×
＝3﹣1﹣1
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA＝＝，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，于是可计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝＝，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD＝AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵D是AB中点，
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∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，
∴BE＝＝，
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，
即cos∠ABE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
20．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【分析】首先根据AC∥ME，可得∠CAB＝∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．
【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB＝∠AEM，
在Rt△ABC中，∠CAB＝28°，AC＝9m，
∴BC＝ACtan28°≈9×0.53＝4.77（m），
∴BD＝BC﹣CD＝4.77﹣0.5＝4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD＝90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC＝90°，
∴∠BDF＝∠CAB＝28°，
∴DF＝BDcos28°≈4.27×0.88＝3.7576≈3.8（m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m．
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【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．利用三角函数首先要确定直角三角形．
21．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
【分析】（1）延长BA交EF于点G，利用三角形外角性质即可求出所求角的度数；
（2）过A作CD的垂线，垂足为H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH＝30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH与AH的长，确定出三角形ACH为等腰直角三角形，求出CH，AH的长，由AC+CH+HD求出大树高即可．
【解答】解：（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，
则∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠GAE＝180°﹣38°﹣（90°﹣23°）＝75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC＝60°，∠AHD＝90°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝3，
∴DH＝，AH＝，
在Rt△ACH中，∠CAH＝∠CAD﹣∠DAH＝75°﹣30°＝45°，
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∴∠C＝45°，
∴CH＝AH＝，AC＝，
则树高++（米）．
【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
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