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课时作业(八)
[1.4 第 2 课时 角平分线性质定理的应用]
一、选择题
1．下列说法：①在△ABC 中，AB 的垂直平分线是 A，B 两点的对称点；②角的两边关于角平
分线所在的直线对称；③在等腰三角形 ABC 中，两腰 AB，AC 关于∠A 的平分线所在的直线
对称；④在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的对称轴上；⑤一个角的对称轴上
的点到这个角的两边的距离相等．其中正确的有( )
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
2．如图 K－8－1，已知在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分∠ABC 交 CD 于点 E，BC
＝7.5，DE＝2，则△BCE 的面积为链接听课例1归纳总结( )
图 K－8－1
A．10 B．7 C．7.5 D．4
3.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图 K－8－2 所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是
( )
图 K－8－2
A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
4．如图 K－8－3，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点 A 为圆心，任意长为半径
画弧分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于
1
2MN 的长为半径画弧，两弧
相交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则有下列说法：①AD 平分∠BAC；②∠ADC＝
60°；③点 D 在 AB 的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的有( )
图 K－8－3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5.如图 K－8－4，△ABC 的面积等于 6，边 AC＝3.现将△ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点
C 落在直线 AD 上的点 C′处，点 P 在直线 AD 上，则线段 BP 的长不可能是( )2
图 K－8－4
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．如图 K－8－5，AB∥CD，O 为∠BAC，∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于点 E.若两平
行线间的距离为 6，则 OE＝________．
图 K－8－5
7．在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比
是________．
8．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，O 是三个内角平分线的交点，AC＝3，BC＝4，点 O 到三
边的距离 r＝________．
三、解答题
9．如图 K－8－6，某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明
灯 P，使它到绿地各边的距离相等．请你在图中画出安装照明灯 P 的位置.
图 K－8－6
10．如图 K－8－7，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边的中点，且 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为 E，F.求证：∠1＝∠2.
图 K－8－7
11．如图 K－8－8，AE 平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为 D，3
M，N.求证：BM＝CN.
图 K－8－8
12．如图 K－8－9，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点．PD⊥OA 交 OA 于点 D，PE⊥OB
交 OB 于点 E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF.求证：DF＝EF.
图 K－8－9
13．如图 K－8－10，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.4
求证：AD 垂直平分 EF.
图 K－8－10
分类探究观察、猜想、探究：在△ABC 中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图 K－8－11①，当∠C＝90°，AD 平分∠BAC 时，求证：AB＝AC＋DC；
(2)如图 K－8－11②，当∠C≠90°，AD 平分∠BAC 时，线段 AB，AC，DC 之间又有怎样
的数量关系？
(3)如图 K－8－11③，当 AD 平分△ABC 的外角时，线段 AB，AC，DC 之间又有怎样的数
量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
图 K－8－115
详解详析
课堂达标
1．[解析] B 在△ABC 中，AB 的垂直平分线是 A，B 两点的对称轴，故①错误；②③④⑤都
正确．
2．[解析] C 过点 E 作 EK⊥BC 于点 K.
∵BE 平分∠ABC，CD⊥AB，
∴EK＝DE＝2，
∴△BCE 的面积＝
1
2BC·EK＝
1
2×5×2＝5.
故选 C.
3．A
4．[解析] D 根据作图的过程可知，AD 平分∠BAC.故①正确；
∵在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
又∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝
1
2∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°.故②正确；
∵∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD，
∴点 D 在 AB 的垂直平分线上．故③正确；
∵在 Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，
∴CD＝
1
2AD，
∴BC＝CD＋BD＝
1
2AD＋AD＝
3
2AD.
∵S△DAC＝
1
2AC·CD＝
1
4AC·AD，S△ABC＝
1
2AC·BC＝
1
2AC·
3
2AD＝
3
4AC·AD，
∴S△DAC∶S△ABC＝(
1
4AC·AD)∶(
3
4AC·AD)＝1∶3，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共 4 个．
5．[解析] A 如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，BE′⊥AC′于点 E′，易知 AB 平分∠
DAC，先利用三角形的面积公式求出 BE＝4，得 BE′＝4，由垂线段最短可知 BP≥BE′，可
得正确答案．
6．[答案] 36
[解析] 如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，OG⊥CD 于点 G.
∵∠ACD 与∠BAC 的平分线相交于点 O，
OE⊥AC，
∴OE＝OF＝OG.
∵FG＝6，
∴OE＝3.
故答案为 3.
7．[答案] 4∶3
[解析] 如图，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 为垂足，D 为∠BAC 的平分线 AD 上一点，
则 DE＝DF.由 AB＝4，AC＝3，△ABD 的面积为
1
2AB·DE，△ACD 的面积为
1
2AC·DF，从而得到
△ABD 与△ACD 的面积之比即 AB 与 AC 之比，故答案为 4∶3.
8．1
9．解：∵照明灯到绿地各边的距离相等，∴照明灯 P 的位置为△ABC 的角平分线的交
点，如图．
10．证明：如图，连接 AD.
∵AB＝AC，D 是 BC 边的中点，
∴AD 平分∠BAC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠1＝∠2.
11．证明：如图，连接 BE，EC.
∵BD＝DC，DE⊥BC，
∴BE＝CE.
∵AE 平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM＝EN，∠EMB＝∠ENC＝90°.7
在 Rt△BME 和 Rt△CNE 中，
∵BE＝CE，EM＝EN，
∴Rt△BME≌Rt△CNE，
∴BM＝CN.
12．证明：∵点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴∠DPF＝90°－∠DOP，∠EPF＝90°－∠EOP，
∴∠DPF＝∠EPF.
在△DPF 和△EPF 中，
∵PD＝PE，∠DPF＝∠EPF，PF＝PF，
∴△DPF≌△EPF，
∴DF＝EF.
13．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴点 A 在线段 EF 的垂直平分线上．
又∵DE＝DF，
∴点 D 在线段 EF 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 EF.
素养提升
解：(1)证明：过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E.
∵AD 平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
∵AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE.
∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，
∴∠B＝45°.
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝45°，
∴BE＝DE＝DC.
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝AC＋DC.
(2)AB＝AC＋DC.
理由：在 AB 上截取 AG＝AC，连接 DG.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠GAD＝∠CAD.8
在△ADG 和△ADC 中，
∵AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADC，
∴DG＝DC，∠AGD＝∠ACB.
∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B.
又∵∠AGD＝∠B＋∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则 AB＝BG＋AG＝DC＋AC.
即 AB＝AC＋DC.
(3)AB＝DC－AC.
证明：在 AF 上截取 AG＝AC，连接 DG.
∵AD 平分∠FAC，
∴∠GAD＝∠CAD.
在△ADG 和△ADC 中，
∵AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADC，
∴DG＝DC，∠AGD＝∠ACD，
即∠ACB＝∠FGD.
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B.
又∵∠FGD＝∠B＋∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则 AB＝BG－AG＝DC－AC.
即 AB＝DC－AC.
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