1
课时作业(七)
[1.4 第 1 课时 角平分线的性质]
一、选择题
1．2017·台州如图 K－7－1，P 是∠AOB 平分线 OC 上一点，PD⊥OB，垂足为 D.若 PD＝
2，则点 P 到边 OA 的距离是( )
图 K－7－1
A．2 B．3 C. 3 D．4
2．如图 K－7－2，若 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，则对于∠1 和∠2 的大小关系，下
列说法正确的是( )
图 K－7－2
A．一定相等 B．一定不相等
C．当 BD＝CD 时相等 D．当 DE＝DF 时相等
3．如图 K－7－3，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 是( )
图 K－7－3
A．线段 CD 的中点
B．OA 与 OB 的中垂线的交点
C．OA 与 CD 的中垂线的交点
D．CD 与∠AOB 的平分线的交点
4．如图 K－7－4，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B.则下列结论中不
一定成立的是 ( )2
图 K－7－4
A．PA＝PB B．PO 平分∠APB
C．OA＝OB D．AB 垂直平分 OP
5．2017·枣庄如图 K－7－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 A 为圆心，适当长为
半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于
1
2MN 长为半径画弧，两
弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD＝4，AB＝15，则△ABD 的面积为( )
图 K－7－5
A．15 B．30
C．45 D．60
6．如图 K－7－6，已知△ABC 的角平分线 BO，CO 交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于点
D，OH⊥BC 于点 H.若∠BAC＝60°，OH＝3 cm，则 OA 的长为( )
图 K－7－6
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
7.如图 K－7－7，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BA 和 CD 的延长线相交于点 E.若点 P 在
△EBC 内部，且使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( )
图 K－7－7
A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成△EBC 的∠BEC 的平分线(点 E 除外)
D．组成△EBC 的∠BEC 的平分线所在的直线(点 E 除外)
8．△ABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别为 6 cm，4 cm，4 cm，P 为三条角平分线的交点，
则△ABP，△BCP，△ACP 的面积比为( )
A．1∶1∶1 B．2∶2∶3
C．2∶3∶2 D．3∶2∶2
二、填空题
9．如图 K－7－8，∠AOB＝70°，QC⊥OA 于点 C，QD⊥OB 于点 D.若 QC＝QD，则∠AOQ＝
________°.链接听课例3归纳总结3
图 K－7－8
10．如图 K－7－9，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠
BOC＝________°.
图 K－7－9
11．如图 K－7－10，BD 是∠ABC 的平分线，P，Q 分别是 BD，BC 上的点，PE⊥BA 于点
E，PE＝4 cm，则 PQ 的最小值为______cm.
图 K－7－10
12．如图 K－7－11，∠B＝∠C＝90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED＝35°，
则∠EAB＝________°.
图 K－7－11
三、解答题
13．如图 K－7－12，铁路 OA 和铁路 OB 相交于 O 处，河道 AB 与两条铁路分别交于 A 处
和 B 处，试在河岸上建一座水厂 M，要求 M 在 A，B 之间，且到铁路 OA，OB 的距离相等，则
该水厂 M 应建在图中什么位置？请在图中标出点 M 的位置．
图 K－7－12
14．如图 K－7－13，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE 垂直
平分线段 AB.
(1)试找出图中相等的线段，并说明理由；
(2)若 DE＝1 cm，BD＝2 cm，求 AC 的长.4
图 K－7－13
15．如图 K－7－14，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，CD 交 BE 于点 O.
(1)若 OC＝OB，求证：点 O 在∠BAC 的平分线上；
(2)若点 O 在∠BAC 的平分线上，求证：OC＝OB.
图 K－7－14
归纳猜想已知∠AOB＝90°，在∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角尺的直角顶点与
点 C 重合，它的两条直角边分别与 OA，OB 相交于点 D，E.
(1)如图 K－7－15①，当 CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E 时，求证：CD＝CE.
(2)当三角尺绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图②的情况下，(1)中的结论是否还成
立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
图 K－7－155
详解详析
课堂达标
1．[解析] A 如图，过点 P 作 PE⊥OA 于点 E.∵P 是∠AOB 平分线 OC 上一点，PD⊥OB，
PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.
2．[解析] D 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，即 DE，DF 是点 D 到∠BAC 两边的距离，如果 DE＝
DF，根据角平分线的性质定理的逆定理，可知点 D 在∠BAC 的平分线上，所以∠1＝∠2.
3．D
4．[解析] D 根据角平分线的性质知选项 A 正确，可证明△OPA≌△OPB，从而知选项
B，C 正确．
5．[解析] B 由题意得 AP 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵∠C＝90°，∴
DE＝CD，∴△ABD 的面积＝
1
2AB·DE＝
1
2×15×4＝30.
6．[解析] A 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E.
∵BO 平分∠ABC，OH⊥BC，
∴OE＝OH＝3 cm.
过点 O 作 OF⊥AC 于点 F.
又∵CO 平分∠ACB，OH⊥BC，
∴OF＝OH.
又∵OE＝OH，
∴OE＝OF.
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴AO 平分∠BAC.
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴AO＝2OE＝6 cm.
故选 A.
7．[解析] C 因为 AB＝CD，若 S△PAB＝S△PCD，则 AB，CD 边上的高必须相等，因此考虑
点 P 所在的位置到 AB，CD 的距离相等．又因为点 P 在△EBC 内部，所以点 P 在△EBC 的∠BEC
的平分线上(点 E 除外)．故选 C.
8．[解析] D ∵P 为△ABC 的三条角平分线的交点，
∴点 P 到三边 AB，BC 和 CA 的距离相等．
∵AB∶BC∶CA＝3∶2∶2，
∴S△ABP∶S△BCP∶S△ACP＝AB∶BC∶CA＝3∶2∶2.
9．35
10．[答案] 115
[解析] ∵∠A＝50°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°.6
∵点 O 到△ABC 三边的距离相等，
∴O 是△ABC 角平分线的交点，
∴∠OBC＋∠OCB＝
1
2(∠ABC＋∠ACB)＝
1
2×130°＝65°.
在△OBC 中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－65°＝115°.
故答案为 115.
11．4
12．[答案] 35 [解析] 如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F.
∵DE 平分∠ADC，
∠C＝90°，
∴EF＝EC.
∵E 是 BC 的中点，
∴EC＝EB，
∴EB＝EF.
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE 平分∠DAB.
∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°－35°＝55°.
∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDA＝110°.
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA＋∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝
1
2∠DAB＝35°.
13.解：作∠AOB 的平分线交 AB 于点 M，则点 M 为水厂的位置，图略．
14．解：(1)图中相等的线段有 AD＝BD，CD＝DE，AE＝BE＝BC.
理由：∵DE 垂直平分线段 AB，
∴DE 是线段 AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∵∠C＝90°，∴DC⊥BC.
又∵DE⊥AB，BD 平分∠ABC，
∴CD＝DE.
由勾股定理，得 BE2＝BD2－DE2，BC2＝BD2－CD2，∴BE＝BC.
∵E 为 AB 的中点，
∴AE＝BE＝BC.
(2)由(1)知 CD＝DE＝1 cm，AD＝BD＝2 cm，
∴AC＝AD＋CD＝3 cm.7
15．证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°.
又∵∠EOC＝∠DOB，OC＝OB，
∴△COE≌△BOD(AAS)，
∴OE＝OD.
又∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴点 O 在∠BAC 的平分线上．
(2)∵CD⊥AB，BE⊥AC, 点 O 在∠BAC 的平分线上，
∴OE＝OD，∠OEC＝∠ODB＝90°.
又∵∠EOC＝∠DOB，
∴△COE≌△BOD(ASA)，
∴OC＝OB.
素养提升
解：(1)证明：∵OM 是∠AOB 的平分线，CD⊥OA 于点 D，CE⊥OB 于点 E，
∴CD＝CE.
(2)(1)中的结论仍然成立．
证明：如图，过点 C 分别作 CK⊥OA，垂足为 K，CH⊥OB，垂足为 H.
∵OM 为∠AOB 的平分线，且 CK⊥OA，
CH⊥OB，
∴CK＝CH，∠CKD＝∠CHE＝90°.
又∵∠1 与∠2 都为旋转角，
∴∠1＝∠2.
在△CKD 与△CHE 中，
∵∠CKD＝∠CHE，CK＝CH，∠1＝∠2，
∴△CKD≌△CHE，∴CD＝CE.
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