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专题训练(一) 直角三角形与勾股定理的应用
► 类型之一 共边直角三角形的问题
1．如图 1－ZT－1，一架梯子的长度为 2.5 米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端 0.7
米．
(1)这个梯子顶端离地面________米；
(2)如果梯子的顶端下滑了 0.4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？
图 1－ZT－1
2．如图 1－ZT－2，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC
的长为 13 米，此人以每秒 0.5 米的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，则船向岸边移
动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)
图 1－ZT－22
► 类型之二 构造直角三角形解决问题
3．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图 1－ZT－
3，近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240 km 的 B 处，以每小时 12 km 的
速度向北偏东 60°方向移动，距沙尘暴中心 150 km 的范围为受影响区域．
(1)A 城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)如果 A 城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
图 1－ZT－3
4．如图 1－ZT－4，小红同学要测量 A，C 两地的距离，但 A，C 之间有一个水池，不能
直接测量，于是她在 A，C 同一水平面上选取了一点 B，点 B 可直接到达 A，C 两地．她测量
得到 AB＝80 米，BC＝20 米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出 A，C 两地之间的距
离．(参考数据： 21≈4.6，保留到整数位)
图 1－ZT－43
► 类型之三 直角三角形中的测量问题
5．如图 1－ZT－5，小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳
子接长一些，让它垂到地面还多 1 米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下
端离旗杆底部 5 米，你能帮他计算一下旗杆的高度吗？
图 1－ZT－5
► 类型之四 最短路径问题
6．如图 1－ZT－6，有一个圆柱形透明玻璃容器，高 15 cm，底面周长为 24 cm，在容器
内壁距上边缘 4 cm 的 A 处停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬 3 cm 到达 B 处时
(B 处与 A 处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少厘
米？(容器厚度忽略不计)．
图 1－ZT－64
► 类型之五 直角三角形与面积问题
7．如图 1－ZT－7，学校有一块三角形草坪，数学课外小组的同学测得其三边的长分别
为 AB＝200 米，AC＝160 米，BC＝120 米．
(1)小明根据测量的数据，猜想△ABC 是直角三角形，请判断他的猜想是否正确，并说
明理由；
(2)若计划修一条从点 C 到 AB 边的小路 CH，使 CH⊥AB 于点 H，求小路 CH 的长．
图 1－ZT－7
► 类型之六 直角三角形作图与计算问题
8．如图 1－ZT－8，在笔直的公路 l 的同侧有 A，B 两个村庄，已知 A，B 两村分别到公
路的距离 AC＝3 km，BD＝4 km.现要在公路上建一个汽车站 P，使该车站到 A，B 两村的距离
相等．
(1)试用直尺和圆规在图中作出点 P；(保留作图痕迹)
(2)连接 AP，BP，若测得∠APB＝90°，求 A 村到车站的距离．
图 1－ZT－85
详解详析
1．解：(1)梯子底部离墙底端 0.7 米，且梯子的长度为 2.5 米，则在梯子与地面、墙面
构成的直角三角形中，梯子顶端与地面的距离为 2.52－0.72＝2.4(米)．故答案为 2.4.
(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了 x 米，则(2.4－0.4)2＋(0.7＋x)2＝2.52，
(0.7＋x)2＝2.52－22＝2.25，
∴0.7＋x＝1.5(0.7＋x＝－1.5 已舍去)，
∴x＝0.8.
答：梯子在水平方向上滑动了 0.8 米．
2．解：在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝90°，BC＝13 米，AC＝5 米，
∴AB＝ 132－52＝12(米)．
∵此人以每秒 0.5 米的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，
∴CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝ CD2－AC2＝ 82－52＝ 39(米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－ 39)米．
答：船向岸边移动了(12－ 39)米．
3．解：(1)A 城会受到这次沙尘暴的影响．理由：如图，过点 A 作 AC⊥BM，垂足为 C.
在 Rt△ABC 中，由题意可知∠ABC＝30°，∴AC＝
1
2AB＝
1
2×240＝120(km)．∵AC＝120 km＜150
km，∴A 城会受到这次沙尘暴的影响．
(2)设点 E，F 是以点 A 为圆心，150 km 为半径的圆与 MB 的交点，由题意得 CE＝
AE2－AC2＝ 1502－1202＝90(km)，
∴EF＝2CE＝2×90＝180(km)．
180÷12＝15(时)．
答：A 城遭受影响的时间为 15 小时．
4．解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D.
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°.
在 Rt△BCD 中，
∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，
∴BD＝
1
2BC＝
1
2×20＝10(米)，
∴CD＝ 202－102＝10 3(米)，
∴AD＝AB＋BD＝80＋10＝90(米)．
在 Rt△ACD 中，AC＝ AD2＋CD2＝ 902＋（10 3）2≈92(米)．
答：A，C 两地之间的距离约为 92 米．6
5．解：如图，设 AC＝x 米，
则 AB＝(x＋1)米．
在 Rt△ABC 中，
由勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2，
即 x2＋52＝(x＋1)2，解得 x＝12.
答：旗杆的高度为 12 米．
6．解：将圆柱沿相对的 A，B 垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图所
示．
过点 B 作 BO⊥AO 于点 O，则 AO，BO 分别平行于长方形的两边，作点 A 关于点 D 的对称
点 A′，连接 A′B，则△A′BO 为直角三角形，且 BO＝
24
2 ＝12(cm)，A′O＝(15－3)＋4＝
16(cm)，由勾股定理，得 A′B2＝A′O2＋BO2＝162＋122＝400，∴A′B＝20 cm.故蜘蛛沿折
线 BCA 爬去吃小飞虫最近，且它至少要爬 20 cm.
7．解：(1)正确．
理由：在△ABC 中，AB＝200 米，AC＝160 米，BC＝120 米，
∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AB2，
即 AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC 是直角三角形．
(2)∵CH⊥AB，∴S△ABC＝
1
2AB·CH.
由(1)知△ABC 是直角三角形，
且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝
1
2AC·BC，
∴AB·CH＝AC·BC，
即 200CH＝160×120，
解得 CH＝96 米．
答：小路 CH 的长为 96 米．
8．解：(1)如图，连接 AB，画出 AB 的垂直平分线交 CD 于点 P，则点 P 即为所求的
点．
(2)∵∠APB＝90°，7
∴∠APC＋∠BPD＝90°.
又∵∠APC＋∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠BPD.
又∵∠ACP＝∠PDB＝90°，AP＝PB，
∴△ACP≌△PDB(AAS)，
∴PC＝BD＝4 km.
在 Rt△ACP 中，∠ACP＝90°，
∴AP2＝AC2＋PC2＝32＋42＝25，
∴AP＝5 km.
答：A 村到车站的距离为 5 km.
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