2019年春八年级数学下册第1章直角三角形本章中考演练练习新版湘教版.docx

1 本章中考演练 一、选择题 1．2018·淄博如图 1－Y－1，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M， 过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC.若 AN＝1，则 BC 的长为(　　) 图 1－Y－1 A．4 B．6 C．4 3 D．8 2．2018·鄂州一副三角板如图 1－Y－2 放置，则∠AOD 的度数为(　　) 图 1－Y－2 A．75° B．100° C．105° D．120° 3．2018·黄冈如图 1－Y－3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD＝2，CE＝5，则 CD 的长为(　　) 图 1－Y－3 A．2 B．3 C．4 D．2 3 4．2017·营口如图 1－Y－4，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝ 3，DC＝1，P 是 AB 上的动点，则 PC＋PD 的最小值为(　　) 图 1－Y－4 A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 5．2018·淮安如图 1－Y－5，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点 A， B 为圆心，大于 1 2AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P，Q，过 P，Q 两点作直线交 BC 于 点 D，则 CD 的长是________．2 图 1－Y－5 6．2018·湘潭《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载 了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译 成数学问题是：如图 1－Y－6 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3， 求 AC 的长．如果设 AC＝x，则可列方程为__________． 图 1－Y－6 7．2018·德州如图 1－Y－7，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为________． 图 1－Y－7 8．2018·重庆 A 卷如图 1－Y－8，把三角形纸片折叠，使点 B，C 都与点 A 重合，折痕 分别为 DE，FG，得到∠AGE＝30°.若 AE＝EG＝2 3厘米，则△ABC 的边 BC 的长为________ 厘米． 图 1－Y－8 9．2018·襄阳已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ 3，AD＝1，AB＝2AC，则 BC 的长为________． 三、解答题 10．2018·宜昌如图 1－Y－9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外 角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E. (1)求∠CBE 的度数； (2)过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F.求∠F 的度数．3 图 1－Y－9 11．2016·益阳如图 1－Y－10，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面 积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答 过程． 图 1－Y－10 12．2018·荆门如图 1－Y－11，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边三角形 BDE，连接 AD，CD. (1)求证：△ADE≌△CDB； (2)若 BC＝ 3，在 AC 边上找一点 H，使得 BH＋EH 最小，并求出这个最小值． 图 1－Y－114 13．2017·宜昌阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为勾股 数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公 式为{a＝ 1 2（m2－n2）， b＝mn， c＝ 1 2（m2＋n2）， 其中 m＞n＞0，m，n 是互质的奇数． 应用：当 n＝1 时，求有一条边长为 5 的直角三角形的另外两条边长． 14．2018·孝感如图 1－Y－12，在△ABC 中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了 如下操作： ①作∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D； ②作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P； ③连接 PB，PC. 请你观察图形解答下列问题： (1)线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是________； (2)若∠ABC＝70°，求∠BPC 的度数． 图 1－Y－125 详解详析 1．B 2．[解析] C　由题意可知∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45° －30°＝15°.又∵∠A＝90°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝90°－15°＝75°，∴∠AOD＝180° －∠AOB＝180°－75°＝105°. 3．[解析] C　在 Rt△ABC 中，CE 为 AB 边上的中线，所以 CE＝ 1 2AB＝AE.因为 CE＝5，AD ＝2，所以 DE＝3.因为 CD 为 AB 边上的高，所以在 Rt△CDE 中，CD＝ CE2－DE2＝4.故选 C. 4．[解析] B　过点 C 作 CO⊥AB 于点 O，延长 CO 到点 C′，使 OC′＝OC，连接 DC′， 交 AB 于点 P，连接 CP.此时 DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝1，BD＝3，∴BC＝ 4.连接 BC′，由对称性可知∠C′BP＝∠CBP＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠ BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝4，根据勾股定理可得DC′＝ BC′2＋BD2＝ 42＋32 ＝5. 5．[答案] 8 5 [解析] 连接 AD.∵PQ 垂直平分 AB，∴AD＝BD.设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x，在 Rt△ACD 中，∵AC2＋CD2＝AD2，即 9＋x2＝(5－x)2，解得 CD＝ 8 5. 6．x2＋9＝(10－x)2 7．3 8．[答案] (4 3＋6) [解析] 如图，过点 E 作 EM⊥AG 于点 M，则由 AE＝EG，得 AG＝2MG.∵∠AGE＝30°，EG ＝ 2 3厘 米 ， ∴ EM ＝ 1 2EG ＝ 3( 厘 米 ) ． 在 Rt △ EMG 中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 MG ＝ （2 3）2－（ 3）2＝3(厘米)，∴AG＝6 厘米．由折叠可知，BE＝AE＝2 3(厘米)， GC＝AG＝6 厘米．∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 3＋2 3＋6＝(4 3＋6 厘米． 9．[答案] 2 3或 2 7 [解析] 分两种情况讨论：①当 CD 在△ABC 内部时，如图． 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC＝ AD2＋CD2＝2.∴AB＝2AC＝4，∴BD＝AB－AD＝3. 在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 BC＝ CD2＋BD2＝2 3. ②当 CD 在△ABC 外部时，如图． 此时，AB＝4，BD＝BA＋AD＝5，在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 BC＝ CD2＋BD2＝2 6 7. 综上所述，BC 的长为 2 3或 2 7. 10．解：(1)∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝ 1 2∠CBD＝65°. (2)∵∠ACB＝90°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°， ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠CEB＝25°. 11．解：在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13， 设 BD＝x，则 CD＝14－x. 在 Rt△ABD 中， 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2. 在 Rt△ACD 中， 由勾股定理， 得 AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2， ∴152－x2＝132－(14－x)2，解得 x＝9. ∴AD＝12， ∴S△ABC＝ 1 2BC·AD＝ 1 2×14×12＝84. 12．解：(1)证明：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为 AB 边的中点， ∴BC＝EA，∠ABC＝60°. ∵△BDE 为等边三角形， ∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB. (2)如图，作点 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 BE′交 AC 于点 H. 则 H 即为符合条件的点．由作图可知：EH＋BH＝BE′，AE′＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝ 30°， ∴∠EAE′＝60°， ∴△EAE′为等边三角形， ∴EE′＝EA＝ 1 2AB， ∴∠AE′B＝90°. 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝ 3，7 ∴AB＝2 3，AE′＝AE＝ 3， ∴BE′＝ AB2－AE′2＝ （2 3）2－（ 3）2＝3，∴BH＋EH 的最小值为 3. 13．解：当 n＝1 时， a＝ 1 2(m2－1)①， b＝m②， c＝ 1 2(m2＋1)③. ∵直角三角形有一条边长为 5， ∴(1)当 a＝5 时， 1 2(m2－1)＝5， 解得 m＝± 11(舍去)； (2)当 b＝5 时，即 m＝5， 代入①③，得 a＝12，c＝13. (3)当 c＝5 时， 1 2(m2＋1)＝5，解得 m＝±3. ∵m＞0， ∴m＝3，代入①②，得 a＝4，b＝3. 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12，13 或 3，4. 14．解：(1)PA＝PB＝PC(或相等) (2)∵AM 平分∠BAC，AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝(180°－70°×2)× 1 2＝20°. ∵EF 是线段 AB 的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴∠PBA＝∠PAB＝20°. ∵∠BPD 是△PAB 的外角， ∴∠BPD＝∠PAB＋∠PBA＝40°， ∴同理，∠CPD＝40°， ∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝80°.