第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质第2课时 角平分线性质定理
的应用
目标突破
总结反思
第1章 直角三角形
知识目标1.4 角平分线的性质
知识目标知识目标
1．在掌握角平分线性质定理和其逆定理的基础上，针对角平分线、
距离、面积等进行综合计算．
2．根据几何图形并结合实际情况，利用角平分线性质定理去解决
线段相等的证明及等距离的有关作图问题．目标突破目标突破
目标一 能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题
例1 教材补充例题 如图1－4－4，∠B＝∠C＝90°，M是BC的
中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM之间有怎样的位置关系；
(3)线段CD，AB，AD之间有怎样的数量关系？
并说明理由．
1.4 角平分线的性质
图1－4－4[解析] (1)首先要作辅助线ME⊥AD，则利用角平分线上的点到角两边的距
离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，然后利用角平分线性
质定理的逆定理即可证明AM平分∠BAD.(2)根据平行线的性质得出∠CDA＋
∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根据三角形内角和定理求出
∠AMD的度数即可．(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝ED，同理得出AE＝
AB，即可得出答案．
1.4 角平分线的性质解：(1)证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E.
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.
∵M为BC的中点，∴MB＝MC.∴ME＝MB.
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠BAD.
(2)如图，∵DM平分∠ADC，AM平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠B＝∠C＝90°，∴CD∥AB，
∴∠CDA＋∠BAD＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AMD＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM.
1.4 角平分线的性质(3)CD＋AB＝AD.
理由：如图，∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°.
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
∵DM＝DM，MC＝ME，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM，
∴CD＝ED.同理AE＝AB.
∵ED＋AE＝AD，∴CD＋AB＝AD.【归纳总结】应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题的
步骤
(1)根据角找出平分线及平分线上的点；
(2)过这点找出表示距离的两条线段(或构造垂线段)；
(3)得出距离相等(或角相等)的结论．
1.4 角平分线的性质目标二 角平分线的性质定理在尺规作图上的应用
图1－4－5
例2 教材补充例题 图1－4－5是三条公路AB，BC，CA.现欲建一
个加油站P，使加油站到三条公路的距离相等．
(1)在△ABC内部能建出符合要求的加油站吗？若能，请你作出
它的位置；
(2)在△ABC外部能建出符合要求
的加油站吗？若能，请你作出它
的位置，试想有几个位置符合题意？
1.4 角平分线的性质[解析] △ABC的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，但不要
忽视△ABC的两条外角平分线的交点到三角形三边的距离也同样相等．
1.4 角平分线的性质解：(1)能．如图①，作出△ABC的三条角平分线交于点P，将加油站建在P点
的位置即可．
(2)能．如图②，分别作出△ABC的三条外角平分线，两两相交于点P1，P2，P3
，将加油站建在点P1或点P2或点P3的位置均符合题意，即有3个位置符合题意
．
1.4 角平分线的性质【归纳总结】 根据角平分线的性质定理及其逆定理作图要综合
考虑下列三种交点：
(1)内角平分线的交点；
(2)外角平分线的交点；
(3)角平分线与其他符合条件线的交点．
1.4 角平分线的性质总结反思总结反思
知识点一 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用
小结
运用角平分线的性质定理去判定点到角两边的距离相等；运用角
平分线性质定理的逆定理去判定点的位置是否在角的平分线上．
1.4 角平分线的性质知识点二 利用角平分线的性质作图
点到角的两边的距离相等的作图转化为作这个角的
__________．平分线
1.4 角平分线的性质反思
王芳说：一个三角形两个外角的平分线的交点一定在另一个内
角的平分线上．你是否同意王芳的观点？
1.4 角平分线的性质1.4 角平分线的性质
解：我同意王芳的观点．如图所示，P是△ABC两个外角的平分线的交点，过点
P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PE，PG，可证PD＝PG＝PE，由角平分线性质
定理的逆定理可得点P在另一个内角∠A的平分线上．
微信/支付宝扫码支付