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2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
课时过关·能力提升
1.根据下面给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
A.1 111 110 B.1 111 111
C.1 111 112 D.1 111 113
答案:B
2.类比平面内正三角形的 “三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A.① B.①② C.①②③ D.③
解析:因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都比较恰当.
答案:C
3.设f1(x)=cos x,f2 (x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),fn+1(x)=fn'(x),n∈N+,则f2 017(x)等于( )
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
解析:∵f1(x)=cos x,f2(x)=f1'(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x) =(-sin x)'=-cos x,f4(x)=(-cos x)'=sin x,f5(x)=(sin x)'=cos x,……
∴fn(x)的取值呈周期性变化,且4是最小正周期.
∴f2 017(x)=f1(x)=cos x.
答案:C
★4.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列前n项的和为Sn,则S16等于( )
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A.128 B.144
C.155 D.164
解析:由题意可知该数列的前16项为1,2,3,3,6,4,10,5, 15,6,21,7,28,8,36,9.故S16=1+2+3+…+36+9=164.
答案:D
5.线与角是几何中两种最基本的量,因而可以取线段为类比源.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果点P(x,y)分线段P1P2之比为λ∠xOA=α,∠xOB=β,若记λ∠xOP= .
图①
图②
另外,如图②,若P为线段AB的定比分点,且λ∥BB1∥PP1,则有类比猜想PP1= .
解析:由线段的定比分点坐标公式类比可得.
答案:
6.下面是一系列有机物的结构简图,图中的顶点表示原子,两顶点间的短线表示化学键,按图中结构第n个图中有 个原子,有 个化学键.
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答案:4n+2 5n+1
7.观察下列不等式
1
1
1
……
照此规律,第五个不等式为 .
解析:由前3个不等式可知第(n-1)个不等式为1
所以第五个不等式为1
答案:1
8.已知两个圆:x2+y2=1, ①
与x2+(y-3)2=1, ②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题要成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 .
答案:设两圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ③
与(x-c)2+(y-d)2=r2, ④
其中a≠c或b≠d,则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程
★9.将自然数排成如下的螺旋状:
第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,则第20个及第25个拐弯处的数各是多少?
分析先根据前面的情况归纳出一般结论,再求解.
解:前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26,…,这是一个数列,题目要求找出它的第
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20项和第25项各是多少,因此要找出这个数列的规律.
把数列的后一项减去前一项,得一新数列,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…,把原数列的第一项2添在新数列的前面,得到2,1,2, 2,3,3,4,4,5,5,…,于是,原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和,即a1=1+1=2,a2=2+1=1+(1+1)=3,a3=2+1+2=1+(1+1+2)=5,a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,…,所以,第20个拐弯处的数a20=1+(1+1+2+2+3+3+4+4+…+10+10)=1+2×(1+2+…+10)=111,第25个拐弯处的数a25=1+(1+1+2+2+…+12+12+13)=111+2×(11+12)+13=170.
★10.如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证:CC1⊥MN;
(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.类比三角形的余弦定理,拓展到空间,写出如图所示的斜三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.
(1)证明∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,PM∩PN=P,
∴BB1⊥平面PMN.
又MN⊂平面PMN,∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1,∴CC1⊥MN.
(2)解:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有
·cos α,
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.
证明如下:∵由(1)可知CC1⊥平面PMN,
∴上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中,PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP,
∴PM2··CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP.
·CC1,
·CC1,
·BB1=PM·CC1,
·cos α.
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