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3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法和减法
课时过关·能力提升
1.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于( )
A.-3i B.3i
C.±3i D.4i
答案:B
2.下列命题:(1)z∈R⇔z2⇔3+i>1+i.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D. 3
解析:(1)设z=x+yi(x,y∈R),则zy≠0时,z,而当y=0时, z,所以(1)错误.
(2)当z2,z1+z2=z1z1+z2∈R,反之,若z1+z2∈R,则z1,z2两复数的虚部互为相反数,但它们的实部不一定相同,因此z2不一定等(2)错误.
(3)虽然(3+i)-(1+i)=2>0,但由于3+i,1+i均为虚数,而两复数若不全是实数,则不能比较大小,所以(3)错误.故(1)(2)(3)都不正确.
答案:A
3.设f(z)
A.-2+3i B.-2-3i
C.4-3i D.4+3i
解析:z1-z2=(1+5i)- (-3+2i)=(1+3)+(5-2)i=4+3i,
∴f
答案:D
★4.复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2 B.4 C.
解析:∵|x+yi-4i|=|x+yi+2|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2.
∴x=-2y+3.
∴2x+4y=2-2y+3+4y=8
答案:C
5.若P,A,B, C四点分别对应复数z,z1,z2,z3,且|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则点P为△ABC的( )
A.内心 B.外心
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C.重心 D.垂心
解析:由|z-z0|的几何意义可知,点P到三角形三顶点的距离相等,故点P为△ABC的外接圆的圆心.
答案:B
6.若z1=2-i,z2=
解析:z1-z2
答案:
7.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,若z1-z2=0,则m= .
解析:z1-z2=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i.
∵z1-z2=0,
∴m=-1.
答案:-1
8.若复数z满足|z-3|≤
解析:由|z-3|≤,z对应的点Z在以A(3,0)为圆,|z-(1+4i)|表示动点Z到定点B(1,4)的距离,连接A,B两点,则|AB|=|z-(1+4i)|max=
答案:
★9.已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0(θ∈R).
(1)若方程有实数根,求锐角θ的值;
(2)求证:对于任意θ≠kπ∈Z),方程无纯虚数根.
分析(1)先设出方程的实数根为α,将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列出方程组求解.(2)根据反证法先假设有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列方程组求解,得出矛盾,从而原结论得证.
(1)解:设方程的实数根为α,
则α2-(tan θ+i)α-(2+i)=0,
整理,得α2-tan θ·α-2-(α+1)i=0.
因为α·tan θ∈R,
所
又因为0
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