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第三章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复
A
C.1-i D.1+i
解析:A.
答案:A
2.下列命题中,正确的是( )
A.复数的模总是正实数
B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应
C.如果与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D.相等的向量对应着相等的复数
解析:复数的模大于或等于0,故选项A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此选项B不正确;同理选项C也不正确,选项D正确.
答案:D
3.
A
解析:原
答案:C
4.复
A
解析:
∴a=
答案:C
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5.若复数z满足z-1
A.1 B.0 C.-1 D.
解析:由题意,z
所以z2+z+1=0,即z2+z=-1.
答案:C
6.已知(3·z=-
A
C.
解析:∵(3·z=-
∴z
故复数z的虚部
答案:C
7.设z
A.8-8i B.8+8i
C.-8+8i D.-8-8i
解析:∵z=i+(-2i)=-i,∴(1+z)7=(1-i)7=(1-i)·[(1-i)2]3=(1-i)×8i=8+8i.
答案:B
8.复数z满足条件:|2z+1|=|z-i|,那么z对应点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:设z=x+yi(x,y∈R),
则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|,
所以3x2+3y2+4x+2y=0.
故z对应点的轨迹是圆.
答案:A
9.复数z∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A.第一象限 B.第二象限
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C.第三象限 D.第四象限
解析:z
当m≤-1≥0;
当-14
综上可知,z对应的点不可能位于第一象限.
答案:A
10.实数x,y,θ有以下关系:x+yi=3+5cos θ+i(-4+5sin θ)(其中i是虚数单位),则x2+y2的最大值为 ( )
A.10 B.16
C.25 D.100
解析:由x+yi=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),
得x=3+5cos θ,y=-4+5sin θ,
∴x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2
=50-40sin θ+30cos θ
=50-50sin(θ+φ)(φ为常数).
∵sin(θ+φ)∈[-1,1],
∴x2+y2的最大值为100.
答案:D
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b= .
解析:因为(1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,
所以a=1,b=3,a+b=4.
答案:4
12.若z1=1-i,z2=3-5i,则复平面内z1,z2对应的两点之间的距离为 .
解析:z1,z2对应的两点间的距离为|z1-z2|=|(1-i)-(3-5i)|=|-2+4i|
答案:
13.关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第 象限.
解析:∵mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),
即m0.
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故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.
答案:二
14.已知x2+ix+6=2i+5x,若x∈R,则x= ;若x∈C,则x= .
解析:当x∈R时,由复数相等的充要条件x=2;
当x∈C时,令x=a+bi(a,b∈R),
则
所以x=2或x=3-i.
答案:2 3-i或2
15.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2为实数),定义运算“☉”:z1☉z2=x1x2+y1y2,设非零复数ω1,ω2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,如果ω1☉ω2=0,那么在△P1OP2中,∠P1OP2的大小为 .
解析:设ω1=x1+y1i,ω2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2∈R),
∵ω1☉ω2=0,∴x1x2+y1y2=0.
∴OP1⊥OP2.∴∠P1OP2
答案:
三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2
分析将z=1+i,根据两个复数相等的条件求a,b.
解:∵z=1+i,
∴az+2
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i
=(a2+4a)+4(a+2)i.
∵a,b∈R,
∴由复数相等,
∴两式相加整理,
∴所求实数
17.(8分)设O为坐标原点,已知向∈R),
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解:依题
0.
∴a2+2a-15=0.解得a=-5或a=3.
又分母不为零,∴a=3.
此时z1
18.(9分)已知复数z满足|z|
(1)求z;
(2)若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cos∠ABC.
解:(1)设z=x+yi(x,y∈R).
∵|z|
∴x2+y2=2. ①
又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,
∴2xy=2,∴xy=1. ②
由①②可
∴z=1+i或z=-1-i.
又x>0,y>0,
∴z=1+i.
(2)z2=(1+i)2=2i,
z-z2=1+i-2i=1-i.
如图所示,
∴A(1,1),B(0,2), C(1,-1),
∴cos∠ABC
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