30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数*
学习目标
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会
二次函数作为一种数学模型的作用．
教学过程
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 1 米的喷水管喷出的
抛物线水柱最大高度为 3 米，此时喷水水平距离为
1
2米，你能写出如图所示的平面直角坐标
系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求二次函数解析式
【类型一】用一般式确定二次函数解析式
例 1 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解
析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得：{a－b＋c＝－5，
c＝－4，
a＋b＋c＝1，
解这个方程组得：{a＝2，
b＝3，
c＝－4.
∴这个二次函数的解析式为 y＝2x2＋3x－4.
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为 y＝ax2＋bx＋c，转化成一
个三元一次方程组，以求得 a，b，c 的值．
【类型二】用顶点式确定二次函数解析式
例 2 已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析
式．解：设二次函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，
依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得 a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为 y＝a(x－h)2＋k.顶点
坐标为(h，k)，对称轴方程为 x＝h，极值为当 x＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数．
【类型三】根据平移确定二次函数解析式
例 3 将抛物线 y＝2x2－4x＋1 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，求
平移后的函数解析式．
分析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数 y＝2x2－4x＋1 化成顶点式，然后根
据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．
解：y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－1＝2(x－1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，
将其向左平移 3 个单位长度，向下平移 2 个单位长度后，抛物线的形状，开口方向不变，这
时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为 y＝2(x＋2)2
－3.即 y＝2x2＋8x＋5.
方法总结：抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度，向上平移 n(n>0)
个单位长度后的解析式为 y＝a(x－h＋m)2＋k＋n；向右平移 m(m>0)个单位长度，向下平移
n(n>0)个单位长度后的解析式为 y＝a(x－h－m)2＋k－n.
【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式
例 4 已知二次函数 y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于 x 轴对称的图象的解析式．
分析：关于 x 轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方
向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标
与原图象的纵坐标互为相反数．
解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于 x 轴对称的
顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为 y＝－2(x－3)2＋13.
方法总结：y＝a(x－h)2＋k 的图象关于 x 轴对称得到的图象的解析式为 y＝－a(x－h)2
－k.
【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用
例 5 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的
环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度 t/℃ －4 －2 0 1 4
植物高度增长量
l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植
物生长的温度为________℃.
解析：设 l 与 t 之间的函数关系式为 l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、 (1，46)
分别代入得：{4a－2b＋c＝49，
c＝49，
a＋b＋c＝46，
解得{a＝－1，
b＝－2，
c＝49.
∴l＝－t2－2t＋49，即 l＝－(t＋1)2＋50，
∴当 t＝－1 时，l 的最大值为 50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－
1.
方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中
待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐
标)，最后代入求解．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形
式，然后求解，这样可以简化计算.
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