31.4 用列举法求简单事件的概率
31.4.1 用列表法求简单事件的概率
学习目标
1．用列举法求较复杂事件的概率．
2．理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．
3．用列表法求概率．
教学过程
一、情境导入
希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前 1500 年，埃及人为了忘却饥饿，经
常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前 1200 年，有了立方体的骰子．
二、合作探究
探究点一：用列表法求概率
例 1 一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有 1，2 两个数字，若
随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号
码之积为偶数的概率是( )
A.
1
4 B.
1
3 C.
1
2 D.
3
4
解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：
1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (1，2) (2，2)
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有 4 种等可能的情况，号码之积为偶数共有 3
种：(1，2)，(1，2)，(2, 2)，∴P＝
3
4，故选 D.
【类型二】学科内综合题
例 2 从 0，1，2 这三个数中任取一个数作为点P 的横坐标，再从剩下的两个数中任取一
个数作为点 P 的纵坐标，则点 P 落在抛物线 y＝－x2＋x＋2 上的概率为________．
解析：用列表法列举点 P 坐标可能出现的所有结果数和点 P 落在抛物线上的结果数，然
后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：0 1 2
0 —— (0，1) (0，2)
1 (1，0) —— (1，2)
2 (2，0) (2，1) ——
共有 6 种等可能结果，其中点 P 落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1， 2)三种，故
点 P 落在抛物线上的概率是
3
6＝
1
2，故答案为
1
2.
方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.
例 3 如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是 0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发
光的概率是( )
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表表示所有可
能的结果如下：
灯泡 1 发光 灯泡 1 不发光
灯泡 2 发光 (发光，发光) (不发光，发光)
灯泡 2 不发光 (发光，不发光) (不发光，不发光)
根据上表可知共有 4 种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有 3 种，∴
P(至少有一个灯泡发光)＝
3
4，故选 C.
方法总结：求事件 A 的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件 A 包含的可
能结果，再根据概率公式计算．
【类型四】判断游戏是否公平
例 4 甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有 1，2，3 的大小和形状完全相同
的小球放在一个不透明的口袋中．
(1)求从袋中随机摸出一球，标号是 1 的概率；
(2)从袋中随机摸出一球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之
和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏是否
公平？请说明理由．
分析：(1)直接利用概率定义求解；(2)先用列表法求出概率，再利用概率判断游戏的公平性．
解：(1)P(标号是 1)＝
1
3.
(2)这个游戏不公平，理由如下：
把游戏可能出现标号的所有可能性(两次标号之
和)列表如下：
第一次和第二次 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
∴P(和为偶数)＝
5
9，P(和为奇数)＝
4
9，二者不相等，说明游戏不公平．
方法总结：用列举法解概率问题中，可以采用列表法．对于一次实验需要分两个步骤完
成的，用两种方法都可以，以列表法为主．判断游戏是否公平，只需求出双方获胜的概
率．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边的现象
开始.
31.4.2 用画树形图求简单事件的概率
学习目标
1．进一步理解有限等可能事件概率的意义．
2．会用树状图求出一次试验中涉及 3 个或更多个因素时，不重复不遗漏地求出所有可
能的结果，从而正确地计算问题的概率．
3．进一步提高运用分类思想解题的能力，掌握有关数学技能．
教学过程
一、情境导入
学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相
等的四个区域，分别用数字“1”“2”“3”“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则
乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是多少？
二、合作探究
探究点：用树状图求概率
【类型一】摸球问题
例 1 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，
小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A.
1
2 B.
1
4 C.
1
6 D.
1
12
解析：用树状图或列表法列举出所有可能情况，然后由概率公式计算求得．画树状图(如
图所示)：
∴两次都摸到白球的概率是
2
12＝
1
6，故选 C.
【类型二】转盘问题
例 2 有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘 A、B，游戏规定，转动两个转盘各一
次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果．其中 A 大于 B
的有 5 种情况，A 小于 B 的有 4 种情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：选择 A 转盘．画树状图得：
∵共有 9 种等可能的结果，A 大于 B 的有 5 种情况，A 小于 B 的有 4 种情况，∴P(A 大于 B)＝
5
9，P(A 小于 B)＝
4
9，∴选择 A 转盘．
方法总结：树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
【类型三】游戏问题
例 3 甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先
打．规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同(都是手心
或都是手背)，则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”
游戏能决定甲打乒乓球的概率是________．
解析：分别用 A，B 表示手心，手背．画树状图得：
∵共有 8 种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有 4 种情况，
∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是：
4
8＝
1
2，故答案为
1
2.
方法总结：列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合
于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．
【类型四】游戏公平性的判断
例 4 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相
同的 3 支红笔和 2 支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，
则小明胜，否则，小军胜．
(1)请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；
(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
分析：(1)设红笔为A1，A2, A3, 黑笔为 B1，B2, 根据抽取过程不放回，可列表或作树状图，
表示出所有可能结果；(2)根据树状图或列表得出两人所取笔颜色相同的情况，求出小明和
小军获胜的概率，比较概率大小判断是否公平，概率越大对谁就有利．
解：(1)根据题意，设红笔为 A1，A2, A3, 黑笔为 B1，B2, 作树状图如下：
一共有 20 种可能．
(2)从树状图可以看出，两次抽取笔的颜色相同的有 8 种情况，则小明获胜的概率大小
为
8
20＝
2
5，小军获胜的概率大小为
3
5，显然本游戏规则不公平，对小军有利．方法总结：用树状图法分别求出两个人获胜的概率，进行比较．若相等，则游戏对双方
公平；若不相等，则谁胜的概率越大，对谁越有利．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调在面对多步完成的事件时，通常选择树状图求概率．在求概率时，注意方
法的选择.
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