10.5 分式方程
课题 10.5 分式方程（1） 课型 新授 时间 第十章第 8 课时
教学目标
1、经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，经历分式方程的概念，
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。
2、知道分时方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。
3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习习惯，培养学生努力寻找解决问
题的进取心，体会数学的应用价值。
重 难 点 将实际问题中的等量关系用分式方程表示。找实际问题中的等量关系。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学
1、什么叫做分式方程？解分式方程的步骤有哪几步？
2、判断下面解方程的过程是否正确，若不正确，请加以改正.
解方程：
2
x－1＝3－
x＋1
x－1.
解：两边同乘以（x－1），得 2＝3－x＋1，①
x＝3＋1－2，②
x＝2。③
（不正确。正确的解：两边同乘以（x－1），得 2＝3（x－1）－x－1，所以
x＝3。）
3、解下列分式方程：
（1）
2＋x
x－3＝
x－1
x＋4； （2）
x
2x－1＋
5
1－2x＝2.
二、新课
（一）、情境创设：
1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工 1 件，已知乙加工 24
件服装所用时间与甲加工 20 件服装所用时间相同。甲每天加工多少件服
装？
2、一个两位数的各位数字是 4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所
得的两位数与原两位数的比值是
7
4。原两位数的十位数字是几？
3、某校学生到距离学校 15km 的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发
40min 后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽车的
分母中含有
末知数的方
程叫做分式
方程。解分
式方程一般
情况下有下
列几个步骤：
①去分母，
将分式方程
两边同乘以
方程中各分
式的最简公
分母，将分
式方程转化
为整式方程；
②解整式方
程；③检验
（检验整式
方程的根是
否为原方程
的根。）
解分式方程，速度是自行车的速度的 3 倍，求自行车速度。
（二）、探索活动：
1、上面所得到的方程有什么共同特点？
2、这些方程与整式方程有什么区别？
结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
3、如何解分式方程
24
x＋1＝
20
x ？
说明：解分式方程的一般步骤是先去分母（在分式方程的两边同乘各分式
的最简公分母），把不熟悉的分式方程转化为熟悉的一元一次方程来解决。
三、例题教学：
例 1、解方程：
3
x－
2
x－2＝0.
板书出解分式方程的一般过程及完整的书写格式。
例 2、解方程 －
1
x－2＋3＝
1－x
2－x.
例 3、解方程
x－1
x＋2－
x－1
x2－4＝1－
3
2－x.
四、课堂练习：P53 1-3
1、完成情境中的三个分式方程。
2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长 600km 的普通公路，另一条是全
长 480km 的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路
上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到
乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
五、课堂小结：本节课你学到了哪些知识？你有什么感想？
首先要把分
式方程化为
整式方程，
通常采用的
方法是在分
式方程的两
边乘方程中
各分式的最
简公分母，
在去分母时，
方程两边各
项同乘以最
简公分母，
不能漏乘。
规范解题过
程。
学生板演。
解方程前，
先写出各分
母的最简公
分母。
注意检验。
认真审题，
找出等量关
系。
教学后记：
课题 10.5 分式方程（2） 课型 新授 时间教学目标
1、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。
2、了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性。
3、经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题
的能力，培养学生的应用意识。
重 难 点 分式方程的解法。解分式方程要验根。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学
1、解分式方程时为什么会产生增根？
（简单地说，在将分式方程转化为整式方程时，扩大了末知数的取值范
围。）
2、如何检验整式方程的根为原方程的根的增根呢？
（使最简公分母为零的末知数的值或使组成分式方程的某个分式的分母为
零的末知数的值，为原方程的增根。）
3、关于 x 的方程
5＋m
x－2＋1＝
1
x－2有增根 x＝2，则 m＝_____。
4、若分式方程
x
x＋1＝
m
x＋1无解，则 m＝_____。
二、新课
（一）情境创设
解方程：
（1） ； （2） .
（二）、探索活动：
1、方程（1）和方程（2）的求解步骤有差异吗？
2、这两个方程有解吗？在这里，x=2 是方程（2）的根吗？为什么？
说明：在这里，x=2 不是原方程（2）的根，因为它使得原分式方程的分母
为零，我们称它为原方程的增根。
3、你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？
产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为 0 的整式。
4、因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。你能用比较
简洁的方法检验解分式方程产生的增根吗？
理解分式方
程有增根与
无解的含义。
学生板演。
说出解分式
方程的思路。
01
1
1
1 =−−+ xx 163
104
2
45 −−
+=−
−
x
x
x
x5、想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
去分母（注意防止漏乘）；去括号（注意先确定符号）合并同类项；移项；
未知数的系数化为 1；验根（解分式方程必须要验根）。
三、例题教学：
例 1、解下列方程：
（1）
30
x ＝
20
x＋1； （2）
x－2
x＋2－
x＋2
x－2＝
16
x2－4.
四、中考链接：
1、当 为何值时，分式方程
1
x－2＋＝
1－x
2－x无解？
2、若方程
x
x－3－2＝
k
x－3会产生增根，试求 k 的值。
3、解方程：
1
x－5－
1
x－6＝
1
x－8－
1
x－9
（分析：若直接去分母，运算量很大且复杂，因本题的构成比较特殊，如
果方程两边分别通分，则具有相同的分子，可以使解方程的过程大大的简
化。）仿照此解法，你能解下面的一道题吗？试试看！
五、课堂小结：
1、解分式方程的一般步骤是什么？解分式方程和我们前面学习的解一元一
次方程有什么样的不同之处？又有什么样的联系？
2、谈谈你解分式方程的转化思想？
3、谈谈本节课你有什么样的收获？
规范解题过
程，注意检
验。
学生独立完
成，个别学
生上黑板板
演。
学生讨论、
交流，探索
分式方程产
生增根的现
象，并讨论
出现增根的
原因。
探索检验增
根的方法：
将方程的根
代如最简公
分母，看是
否为 0。
教学后记：
m课题 10.5 分式方程（3） 课型 新授 时间
第十章第 10 课
时
教学目标
1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的
实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。
2、发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养
学生的应用意识。
重 难 点 如何结合实际分析问题，列出分式方程。分析过程，得到等量关系。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学
1、列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？
（1）根据题意设末知数；（2）分析题意寻找等量关系，列方程；（3）解
所
列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。
2、列方程（组）解应用题的关键是什么？
分析题意寻找等量关系，列方程。
3、某工程，原计划由 52 人在一定时间内完成，后来决定自开工之日起采
用新技术，工作效率提高 50﹪，现只派 40 人去工作，结果比原计划提前 6
天完成，求采用新技术完成这项工作所需的天数。
二、复习旧知
1、解分式方程的一般步骤有哪些？
2、解方程：
（1）
3
x－1＝
4
x； （2）
10
2x－1＋
5
1－2x＝2.
三、例题探索：
例 1、为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的 3 个小组
制作 240 面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩
旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4 面。如果这 3
个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
例 2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款 30 000 元，已知乙公司
解决这类问
题的数学模
型是“工作
量＝工作时
间×工作半
岛效率”，
通常情况下，
工作量视为
“1”，如工
作时间能用
含末知数的
代数式表示，
则寻找等量
关系应从工
作效率入手。
学生练习，
板演，注意
最后验根。比甲公司人均多捐款 20 元，且甲公司的人数比乙公司的人数多 20%。问甲、
乙两公司各有多少人？
例 3、小明买软面笔记本共用去 12 元，小丽买硬面笔记本共用去 21 元，已
知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 1。2 元，小明和小丽能买到相同本数的
笔记本吗？
例 4、轮船在顺水中航行 20 千米与逆水中航行 10 千米所用时间相同，水流
速度为 2.5 千米/小时，求轮船的静水速度。
总结：用分式方程解实际问题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）
根据题意列方程（4）解方程（5）检验（6）答
四、中考链接
1、某工程由甲、乙两队合作 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元；
乙丙两队合作 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元；甲、丙两队合
作 5 天完成全部工程的
2
3,厂家需付甲、丙两队共 5500 元。
（1）甲、乙、丙各队完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程
花钱最少？请说明理由。
2、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。
已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款
人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款
人数为 人，那么 满足怎样的方程？
先个人思考，
再互相交流，
尝试从不同
角度寻求解
决问题的方
法，找出题
中的等量关
系，根据等
量关系列出
方程。
知道所列出
的分式方程
虽然有解，
但解却不符
合实际情况，
这时原问题
无解。
先独立完成，
再由学生上
黑板板演。
教学后记：
x x
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