13.3 等腰三角形
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13.3等腰三角形例题与讲解(2013-2014学年新人教版大八年级上).doc

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资料简介
‎13.3 等腰三角形 ‎1.等腰三角形 ‎(1)概念:有两边相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的两边叫腰,另一条边叫底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.‎ ‎(2)理解:①等腰三角形是特殊的三角形,它具备三角形所有的性质,如内角和是180°,两边之和大于第三边等.②等腰三角形是轴对称图形,这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法.‎ 破疑点 等腰三角形有关概念的认识 (1)对于等腰三角形问题,我们说角或边时,一般都要指明是顶角还是底角,是底边还是腰,没说明则都有可能,要讨论解决,这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方;(2)等腰三角形顶角可以是直角,是钝角或锐角,而底角只能是锐角.‎ ‎【例1】 等腰三角形两边长分别是‎5 cm和‎11 cm,则它的周长是(  ).‎ A.‎27 cm B.‎‎22 cm C.‎27 cm或‎22 cm D.无法确定 解析:边长为‎5 cm的边可能是底,也可能是腰,当‎5 cm的边是底边时,腰长为‎11 cm,所以周长为‎27 cm,当‎5 cm的边是腰时,则底边长为‎11 cm,因为5+5<11,所以构不成三角形,因此只有一种情况,周长为‎27 cm.故选A.‎ 答案:A ‎2.等腰三角形性质1‎ ‎(1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).‎ ‎(2)理解:这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明,因而更简便.‎ ‎(3)适用条件:必须在同一个三角形中.‎ ‎(4)应用模式:在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C.‎ ‎【例2-1】 已知等腰三角形的一个角为40°,则其顶角为(  ).‎ A.40° B.80°‎ C.40°或100° D.100°‎ 解析:因为并未说明等腰三角形中40°的角是顶角还是底角,所以需要对角进行分类讨论.①当40°的角是底角时,则顶角的度数为:180°-40°×2=100°;②当40°的角是等腰三角形的顶角时,则顶角的度数为40°.所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°,故选C.‎ 答案:C 哦,不指明是底角还是顶角时,要分类讨论,还要看三角形内角和是否是180°啊!‎ ‎【例2-2】 如图,AD、BC相交于O,AB∥CD,OA=OB,求证:∠C=∠D.‎ 分析:由等腰三角形的性质易得∠A=∠B,由平行线的性质可得∠A=∠D,∠B=∠C,等量代换即得∠C=∠D.‎ 证明:∵OA=OB,∴∠A=∠B.‎ ‎∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C.‎ ‎∴∠C=∠D.‎ ‎3.等腰三角形性质2‎ ‎(1)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质.‎ ‎(2)含义:这是等腰三角形所特有的性质,它实际上是一组定理,应用过程中,只要是在等腰三角形前提下,知道是其中“一线”,就可以说明是其他的“两线”,性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系,所以应用非常广泛.‎ ‎(3)对称性:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.‎ ‎(4)应用模式:如图,在△ABC中,‎ ‎①∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴AD平分∠BAC(或BD=CD);‎ ‎②∵AB=AC,BD=DC,‎ ‎∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC);‎ ‎③∵AB=AC,AD平分∠BAC,‎ ‎∴BD=DC(或AD⊥BC).‎ 解技巧 “三线合一”的应用 因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的,所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的,一般得出一个结论,因此应用要灵活.‎ ‎【例3】 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,交BC于D,BD=‎5 cm,求底边BC的长.‎ 分析:因为是等腰三角形,所以底边上的高也是底边上的中线,所以BC=2BD,即可求出BC的长.‎ 解:因为AB=AC,AD⊥BC,‎ 所以BC=2BD=2×5=10(cm).‎ 答:底边BC的长是10 cm.‎ ‎4.等腰三角形的判定 ‎(1)判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).‎ ‎(2)与性质的关系:判定定理与性质定理是互逆的,性质:→;‎ 判定:→.‎ ‎(3)理解:性质和判定应用的前提都是在同一三角形中,并且不经过三角形全等的证明,直接由等边得等角或由等角得等边,所以应用起来更简单、便捷.‎ 破疑点 等腰三角形的判定方法的理解 教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种:一是判定定理;二是定义.另外还有很多方法,如在同一个三角形中,三线中两线重合,也能说明是等腰三角形.但不常用,一般是通过推理得出角相等或边相等,再得出是等腰三角形.‎ ‎【例4】 如图,BE平分∠ABC,交AC于E,过E作DE∥BC,交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形.‎ 证明:∵DE∥BC,‎ ‎∴∠EBC=∠DEB.‎ ‎∵BE平分∠ABC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC.‎ ‎∴∠DBE=∠DEB.‎ ‎∴BD=DE,即△BDE是等腰三角形.‎ ‎5.等边三角形的概念和性质 ‎(1)等边三角形 ‎①概念:三边都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎②认识:它是特殊的等腰三角形,具备等腰三角形的所有性质.‎ ‎(2)性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.‎ ‎(3)拓展:等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,它三边相等,三个内角相等,各边上的高、中线,对应的角平分线重合,且长度相等.‎ ‎【例5】 如图,点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.‎ 证明:∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=60°.‎ 在△ABM和△BCN中,‎ ‎∴△ABM≌△BCN(SAS).‎ ‎∴∠BAM=∠CBN.‎ ‎∴∠BQM=∠BAM+∠ABN ‎=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.‎ ‎6.等边三角形的判定 ‎(1)判定定理:①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ ‎(2)判定方法:等边三角形的判定方法有三种:一是定义,另运用两个定理.‎ ‎(3)拓展理解:对于判定定理①,有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形.‎ 解技巧 巧用条件证明等边三角形 在证明三角形是等边三角形时,根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明.若已知三边关系,一般选定义法;若已知三角关系,一般选判定定理①;若已知该三角形是等腰三角形,则选判定定理②.‎ ‎【例6】 如图,等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.‎ 解:△APQ是等边三角形.‎ 理由:‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°.‎ 在△ABP和△ACQ中,‎ ‎∴△ABP≌△ACQ(SAS).‎ ‎∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.‎ ‎∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°.‎ ‎∴△APQ是等边三角形.‎ ‎7.含30°角的直角三角形的性质 ‎(1)性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.‎ ‎(2)应用模式:在Rt△ABC中,‎ ‎∵∠C=90°,∠B=30°,‎ ‎∴AC=AB.‎ ‎(3)理解:①该性质是含有30°角的特殊的直角三角形的性质,一般的直角三角形没有这个性质,更不能应用;②这个性质主要应用于计算或证明线段的倍数关系;③该性质的证明出自于等边三角形,所以它与等边三角形联系密切.‎ 解技巧 巧用含30°角的直角三角形的性质 在有些题目中,若给出的角是15°角时,往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后,再利用这个性质解决问题.‎ ‎【例7】 如图,∠C=90°,D是CA的延长线上一点,∠D=15°,且AD=AB,则BC=__________AD.‎ 解析:∵AD=AB,∴∠ABD=∠D=15°.‎ ‎∴∠BAC=30°.‎ 在Rt△ABC中,∠C=90°,‎ ‎∴BC=AB=AD.‎ 答案: ‎8.等腰三角形性质和判定的综合应用 类似于全等三角形的性质和判定的关系,等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的.‎ 一方面等腰三角形是特殊的三角形,由等腰三角形性质,可以知道许多相等的线段,相等的角,还能知道垂直关系,成倍数关系的线段或角,所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等;另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用,直接由线段相等得到角相等,由角相等到线段相等,省去了全等的证明,简化了过程,因此很多时候,等腰三角形性质和判定的应用更广泛.注意:等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中.‎ ‎【例8】 如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是BC边上的高,求证:CD=AB+BD.‎ ‎ ‎ 图1    图2‎ 证明:如图2,在DC上截取DE=BD,连接AE,‎ 又∵AD是BC边上的高线,‎ ‎∴AD垂直平分BE.‎ ‎∴AB=AE,‎ ‎∴∠B=∠AED.‎ ‎∵∠AED=∠C+∠CAE,‎ ‎∠B=2∠C,‎ ‎∴∠C+∠CAE=2∠C.‎ ‎∴∠CAE=∠C.‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎∴AB=CE.‎ ‎∴CD=AB+BD.‎ ‎9.巧用“三线合一”性质解题 ‎(1)性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称“三线合一”性质;‎ ‎(2)应用:它是等腰三角形特有的性质,这条线段是中线、高,也是角平分线,它包含有线段相等、角相等、垂直等关系,涉及量多,应用广泛,是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法.‎ 构造“三线合一”解决等腰三角形问题 在等腰三角形问题中,最常添加的辅助线就是作底边上的高,或作顶角的平分线,或作底边上的中线,这样就可以由其中一线得到其他两线,从而知道更多的条件,以便更好地完成计算、证明.‎ ‎【例9】 已知:如图a所示,△ABC中,AB=AC,BF是AC边上的高,求证:∠FBC=∠BAC.‎ ‎ ‎ 图a   图b 证明:如图b,过A点作BC的垂线,垂足为E,‎ 则∠CAE+∠C=90°,∵AB=AC,‎ ‎∴AE平分∠CAB,‎ 即∠CAE=∠BAC.‎ ‎∵BF是AC边上的高,‎ ‎∴∠FBC+∠C=90°.‎ ‎∴∠CAE=∠FBC.‎ ‎∴∠FBC=∠BAC.‎ ‎10.等边三角形的应用 等边三角形也称正三角形,它是最特殊的三角形,它除了三边相等,三个内角相等,且每个角都是60°外,还具有很多特殊的性质:如,证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可;同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等,并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形;它的高和边长也存在着特殊的比例关系,因此已知是等边三角形,就可以知道其中的许多等量关系.‎ 等边三角形的判定也具有自己独特的特点,可以由普通三角形满足条件直接判定,也可以在等腰三角形的基础上进行判定.‎ ‎【例10】 (学科内综合题)如下图所示,在等边三角形ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F,试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理.‎ 证明:如下图,分别连接OE、OF,‎ ‎∵E、F分别是OB、OC垂直平分线上的点,∴OE=BE,CF=OF.‎ ‎∴∠OBE=∠BOE.‎ ‎∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°.‎ ‎∵OB平分∠ABC,‎ ‎∴∠OBE=∠ABC=×60°=30°.‎ ‎∴∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°.‎ 同理∠OFE=60°,‎ ‎∴△OEF为等边三角形.‎ ‎∴OE=OF=EF.∴BE=EF=FC.‎ ‎11.面积法证明等腰三角形的性质 面积法是解决几何问题常用的一种的方法,它巧妙地运用面积之间的关系,通过计算的方式,求线段的长度,或用来证明线段之间的数量关系,有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷,更巧妙,因而在特定条件下能出奇制胜,是一种很好的方法.‎ 面积法的运用,一般以同一个三角形的面积是相等的为基础,运用不同求法,即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半,或将一个图形分解成不同的图形来求面积,但面积之和相等.通过面积相等联系起各量之间的关系,再运用等式的性质,通过化简求出某些线段的长,或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系.‎ 解技巧 巧用面积法证明线段的关系 因为直角三角形的特殊性,所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高,有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和.‎ ‎12.等腰三角形中的“二推一”模式应用 在等腰三角形问题中,“等边、角平分线(等角)、平行”是出现最多,最常见的数量与位置关系,若这三个关系出现在同一图中,一般以其中任意两个条件为题设,推导、证明出第三个条件成立,因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”.‎ ‎(1)基本图形:等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况,一种是角平分线在外,要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和;另一种是角平分线在内,基本图形如图①和图②所示,‎ 演变图形类型较多,主要有以下几种:‎ ‎(2)方法:通过角相等作为纽带,将线段相等、线段平行联系起来,在此过程中要用到等量代换得出的角相等,方式一般是:‎ →→;‎ →→.‎ ‎【例11】 如图1,已知,在△ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,G为底边BC上任一点,GF⊥AB,GE⊥AC,垂足分别为F、E.‎ 求证:GF+GE=BD.‎ 分析:要证明BD=GF+GE,按常规思路将BD分成两段,如图2,证明BH=GF,DH=GE.所以过G作BD的垂线,通过证明三角形全等和判定是矩形完成,既复杂又超出现在所学,但用面积法却简单得多.如图3,连接AG,运用面积法,分别表示出△ABG和△ACG的面积,由于同一三角形面积是相等的,所以S△ABC=S△ABG+S△ACG,所以AB·GF+AC·GE=AC·BD,由于AB=AC,经过等量代换和化简即可得到GF+GE=BD.‎ 证明:连接AG,如图3,则S△ABC=S△ABG+S△ACG=AB·GF+AC·GE,‎ ‎∵AB=AC,∴S△ABC=AC·(GF+GE).‎ 又∵S△ABC=AC·BD,‎ ‎∴AC·(GF+GE)=AC·BD.∴GF+GE=BD.‎ ‎【例12-1】 如图,在△ABC中,∠CAE是△ABC的外角,在下列三项中:①AB=AC;②AD平分∠CAE;③AD∥BC,选择其中两项为题设,另一项为结论,组成一个真命题,并证明.‎ 分析:任意两项组合,第三项当结论组成命题都成立,都是真命题.以①②为题设,以③为结论为例.‎ 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.‎ ‎∵∠CAE=∠B+∠C,∴∠C=∠CAE.‎ ‎∵AD平分∠CAE,∴∠DAC=∠CAE.‎ ‎∴∠C=∠DAC,∴AD∥BC.‎ ‎【例12-2】 如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线,MN过O点,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为___.‎ 解析:因为AO是∠BAC的角平分线,‎ 所以∠BAO=∠CAO.‎ 因为MN∥BA,所以∠BAO=∠AON.‎ 所以∠CAO=∠AON.所以AN=ON.‎ 同理BM=OM,‎ 所以△CMN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+ON+OM=CN+CM+AN+BM=AC ‎+BC=24.‎ 答案:24‎ ‎【例12-3】 如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,△OEF的周长=10,求BC的长.‎ 解:∵OE∥AB,∴∠BOE=∠ABO.‎ ‎∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBE.‎ ‎∴∠BOE=∠OBE.∴BE=OE.‎ 同理可得CF=OF,∵△OEF的周长=10,‎ ‎∴BC=BE+EF+CF=OE+EF+OF=10.‎ 即BC的长为10.‎

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