浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步知识

第 1 章 三角形的初步认识 1.1 认识三角形 生活中有许多使用三角形的实例，你能从下图中找出三角形吗？ 那么 , 怎样的图形叫做三角形呢 ? 由 不在同一条直线上 的三条线段 首尾顺次 相接所组成的图形叫做 三角形 1. 三角形的定义 2 、三角形的表示 A B C 三角形用符号“ △ ”表示 记做“ △ ABC ” 读做“ 三角形 ABC” 例 说出图中有多少个三角形 , 用符号“ △ ”表示 , 并指出每一个三角形的三条边 . Q F E P G H 练习 : 读出图中的各个三角形 . A D B E C 三角形相邻两边的公共端点叫做 三角形的顶点 。 如图，三角形 ABC 有几个顶点？它们 分别 是 。 3 、三角形的顶点 A B C 三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。 A ， B ， C 组成三角形的三条线段叫做 三角形的边 。 如图，三角形 ABC 有几条边？它们分别是 ______________ 。 4 、三角形的边 A B C △ ABC 的三边 , 有时也用 a ， b ， c 来 表示。 一般地，顶点 A 所对的边记作 a, 顶点 B 所对的边记作 b, 顶点 C 所对的边记作 c 。 AB ， AC ， BC 5 、三角形的角 : (1) 三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 ，简称 三角形的角。 ） ） ） (2) 三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。 A B C 在△ ABC 中， AB 边所对的角是： ∠ A 所对的边是： B C A ∠ C BC ★再说几个对边与对角的关系试试。 锐角三角形 三个角都是锐角 直角三角形 有一个角是直角 钝角三角形 有一个角是钝角 三角形可按内角的大小进行分类 . A D C B E 1. 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形和各自的边角 2. 以 AB 为边的三角形有哪些？ △ ABC ， △ ABE 3. 以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、 △ BCE 、 △ CDE 练习 4. 以 ∠ D 为角的三角形有哪些？ △ BCD 、 △ DEC △ABC ， △ ABE ， △ BCE ， △ CDE ， △ BCD 例：如图，在 △ ABC 中，∠ A=40 ° ， ∠ C=60 ° 求∠ B 的度数。 A C B 解： ∵ ∠ A+∠B+∠C=180° ， （ 三角形三个内角的和等于 180° ） ∴∠ B= 180° - （∠ A+∠C ） = 180°- （ 40 ° +60 ° ） =80 ° 三角形三个内角的和等于 180 ° 某村庄和小学分别位于两条交叉的大路边（如图）。可是，每年冬天麦田弄不好就会走出一条小路来。你说小学生为什么会这样走呢？ 村庄 学校 麦 田 探究 用长度分别为 4cm ， 5cm ， 6cm ， 10cm 的四根木棒，取其中三根搭成三角形。哪些能 搭 ，哪些不能 搭 ？你能搭成几个三角形？ 你发现三角形的边之间有何关系？ 三角形的三边有这样的关系： 三角形任何两边的和大于第三边 想一想，两边之差与第三边有何关系 三角形任何两边的差小于第三边 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （ 1 ） 3 ， 4 ， 8 （ ） （ 2 ） 2 ， 5 ， 6 （ ） （ 3 ） 5 ， 6 ， 10 （ ） （ 4 ） 3 ， 5 ， 8 （ ） 不能 能 能 不能 判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的 判断方法 ？ 思 考： 练一练 试一试 2. 小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8cm 和 5cm 的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？ 小颖有 5 种选法。 第三根木棒的长度可以是： 4cm ， 6cm ， 8cm ， 10cm ， 12cm 有人说，自己步子大，一步能走 3 米多，你相信吗？说说你的理由！ 考考你！ 答：不能。如果此人一步能走 3 米多，由三角形三边的关系得， 此人的两条腿长之和得大于 3 米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走 3 米多。 草原上的四口油井，位于如图的 A ， B ， C ， D 四个位置，现在要建立一个维修站 H ，问 H 建在何处，才能使它到四个油井的距离之和 HA+HB ＋ HC+HD 为最小？说明理由。 拓展与应用！ A D C B H H ′ 1. 你 认为 H 应该在什么位置？大胆设想！ 2. 到 A ， C 距离和最小的点在哪儿？ 到 B ， D ? 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角 的角平分线 与它的对边相交，这个角的顶点与 交点之间 的 线段 , 叫做三角形的 角平分线． A C B D ● ● F E ● ● ● ● 如图： 线段AD 叫做 Δ ABC的角平分线。 画出 ΔABC 的另外两条角平分线； 观察三条角平分线，说说你的发现。 对于其它的 任意三角形 是不是也有同样的结果？ 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点 B D C E A O F ∵BE 是 △ ABC 的角平分线 ∴____ = _____ = _____ ∴∠ACB=2______=2______ ∠ABE ∠CBE ∠ABC ∠ ACF ∵CF 是△ ABC 的角平分线 ∠BCF 三角形的中线 在 三角形中，连结三角形的一 个顶点与 该顶点 对边中点的 线段 ，叫做这个三角形的 中线 ． A C B ● ● D E F ● ● ● ● ● 如图： 线段AD 叫做 Δ ABC的边BC上的中线。 （ 1 ）画出 ΔABC 的另外两边上的中线； （ 2 ）说出哪条线段是 ΔABC 的哪条边上的中线； 把刚才的锐角三角形换成 直角三角形或钝角三角形 ，结果又怎么样呢？ 三角形的三条中线在三角形的内部交于一点 ∵ AD 是△ ABC 的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 三角形三条中线的交点叫做三角形的 重心 ； A B C D ● ● E F O 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线 作垂线，顶点和垂足之间的 线段 叫做三角形的 高线 . A B C D 如图 , 线段 AD 是 BC 边上的高 . 注意 标明 垂直的记号和垂足的字母 . ∵AD 是△ ABC 的高 A B C D ∴∠ BDA = ∠ CDA =90 ° 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1 . 三角形 的边、角、顶点 , 表示 方法； 2 . 三角形的三 边关系及 运用； 3 . 三角形的角平分线、中线和 高线 . 第 1 章 三角形的初步知识 1.2 定义与命题 开心一刻 电视里正在播放精彩的乒乓球比赛 …… 打得好！打得好！可惜播音员不识数 …… 人家咋不识数？ 明明是两个人在打球，他却说单打；明明是四个人在打球，他却说双打，你说他识数不识数？ 为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的 定义 。   一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 什么是定义 三个内角都是锐角的三角形叫做 锐角三角形。   一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． —— 锐角三角形的 定义 你能说出下列名称的定义吗？ 钝角： 平行线： 大于直角而小于平角 的角叫做钝角 ． 在 同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线． 考考你！ 请列举一个你熟悉的名称或术语的定义。 下列语句中，属于定义的是（ ） A. 对顶角相等 . B. 三条边对应相等的两个三角形全等 . C. 在同一平面内三条线段首尾顺次 相 接组成的图形叫做三角形 . D. 同旁内角互补，两直线平行 . C 辨一辨！ 比较下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （ 1 ）鸟是动物． （ 2 ）若 a 2 =4 ，求 a 的值． （ 3 ）若 a 2 =b 2 ，则 a=b ． （ 4 ） a,b 两条直线平行吗？ （ 5 ）画一个角等于已知角． （ 6 ） 0.33 是无理数． （ 7 ）两直线平行 , 同位角相等． 一般地， 判断 某一件事情的 句子 叫做 命题． 有判断 命题的特征： 什么是命题 想一想：定义是不是命题呢？ “ 两只脚的动物是鸡”是不是一个命题呢？ 下列语句中，属于命题的有（ ） ① 画线段 AB= 2 cm ； ② 明天早上会下雨； ③ 直角三角形一定不是轴对称图形； ④ 如果两个角相等，那么这两个角的补角相等吗？ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 温馨提示 ① 命题是陈述句。 ② 只需考虑是否作了判断，无需考虑判断的结果是否正确。 B 命题： 两直线平行，同位角相等． 条件 结论 （ 题设）   现 阶段我们在数学上学习的命题可看作由 题设 （或 条件 ）和 结论 两部分组成。 题 设是 已知事项 ，结论是由已知事项 推出的事项 ． （结论） 命题的结构 命题 条件 结论 两直线平行，内错角相等 . 若 a 2 =b 2 ， 则 a=b ． 指出下列命题的 条件 和 结论 ： 两直线平行 内错角相等 a 2 =b 2 a=b 命题可写成“ 如果 ….. 那么 ….. ” 的形式 . 如果 两直线平行， 那么 内错角相等． 如果 a 2 =b 2 ， 那么 a=b ． （ 1 ）对顶角 相等 ； 例 1 、 指出下列命题的 条件 和 结论 ，并改写成 “ 如果 …… 那么 ……” 的形式： （ 2 ）等底等高的两个三角形面积 相等 。 小结： 1. 先找 “ 结论” ， 再 找“ 条件” 2. 补上 相应 的 词 或句子 指出下列命题的 条件 和 结论 ，并改写成 “ 如果 …… 那么 ……” 的形式： 1 、 被 3 整除的正整数必定被 6 整除 2 、 正方形的四条边相等 3 、同角的余角相等 我来说一说 例 2 、 将命题“ 同位角相等，两直线平行 ”， 改 写成 “ 如果 …… 那么 ……” 的形式： 练一练 将命题“ 内错角角相等，两直线平行 ”，改写 成 “ 如果 …… 那么 ……” 的形式 三个知识点： 两个方法： ① 命题：是否对事情做出判断 （ 1 ）定义 （ 2 ）命题 （ 3 ）改写命题 一个注意点： 改 写命题时，正确区分条件和结论，要把省略的词或句子添加上去。 课堂小结 ② 改写命题时，先结论，再条件 1.2 定义与命题 (2) 知识回顾 : (1) 什么是定义 ? (2) 什么是命题 ? 一般地 , 能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的 定义 . 一般地 , 判断某一件事情的句子叫做 命题 . 命题由可看做由 题设 ( 或条件 ) 和 结论 两部分组成 . 命题由哪两部分组成 ? 温故而知新 1 、你对命题有什么印象？ 判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （ 1 ）同角的余角相等。 （ 2 ）在直线 AB 上任取一点 C 。 （ 3 ）相等的角是对顶角。 （ 4 ）全等的两个三角形的面积相等。 （ 5 ）不相交的两条直线叫做平行线。 （ 6 ）所有的质数都是奇数。 是 不是 是 是 是 是 思考下列命题的 题设 ( 条件 ) 是什么 ? 结论 是什么 ? (1)三角形的两边之和大于第三 边； 上述命题中 , 哪些正确 ? 哪些不正确 ? 你的理由是什么 ? 正确的是 _______ 不正确的是 ______ (1)(2)(3) (4) 真命题： 正确的 命题称为真 命题。 假命题： 不正确的 命题称为假 命题。 (2)三角形的三个内角的和等于180 °； (4)对于任何实数 x, x 2 ＜0. (3)两点确定一条 直线； 下列命题哪些是 真命题 ？哪些是 假命题 ？ （ 1 ）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （ 2 ）如果 a ＞ b,b ＞ c, 那么 a = c ； （ 3 ）两个奇数的和是偶数； （ 4 ）不相等的两个角不可能是对顶角。 假命题 假命题 真命题 真命题 说明假命题的方法： 举反例 使之具备命题的条件，而不具备命题的结论 3. 下列命题中哪些是假命题？为什么？ （ 1 ）如果 a≠0,b≠0, 那么 a²+ab+b²=(a+b)² （ 2 ）两个锐角之和一定是钝角 辨一辨 （3） √a²=a（a为实数） （4）一组对边平行，另一组对边相等的 四边形 是 平行四边形 如何证实一个命题是真命题呢 想一想 真命题常常通过推理的方式 （根据已知事实来推断未知事实） 判断真假命题 对顶角相等 ∵∠ 1 ＋∠ 3 ＝ 180°  ∠ 2 ＋∠ 3 ＝ 180° ∴∠ 1 ＝∠ 2 1 3 2 a b 三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等 练一练 : 如图 , 若∠ 1+∠2=180 0 , 则 a∥b. 用推理的方法说明它是一个真命题 . a b ⌒ ⌒ 1 2 ⌒ 3 数学中通常挑选一部分 人们经过 长期实践后 公认为正确 的命题叫做 基本事实 . 1 、两点间线段最短。 2 、两点确定一条直线 。 3 、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 。 4 、同位角相等，两直线平行。 5 、两直线平行，同位角相等。 用 推理 的方法判断为 正确 的命题叫做 定理 . 定理 和 基本事实 都可以作为判断其他命题真假的 依据 . 对顶角相等 三角形任何两边的和大于第三边 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 第 1 章 三角形的初步知识 1.3 证明 复习 现阶段我们在数学上学习的命题由几类？ 命题的分类 真命题 （包括定义 、基本事实和 定理） 假命题 判定一个命题是真命题的方法 : (1) 通过推理的方式 , 即根据已知的事实来推断未知 事实； (2) 人们经过长期实践后而公认为正确的 . a b 一、 目测（直观） 错觉！ 通过观察 , 先猜想结论 , 再动手 验证：如 图 , 一组直线 a,b,c,d 是否都互相平行 ? 直观是重要的 , 但它有时也会骗人 . 如何判断一个命题是真命题？ 二、列举 举不胜举！ 一、 目测（直观） 错觉！ 当 n=6 时， n 2 -3n+7 =25 不是素数 三、测量 存在误差！ 当 n=0,1,2,3,4 时 , 代数式 n 2 -3n+7 的值分别是 7,5,5,7,11, 它们都是素数．那么 , 命题“对于自然数 n, 代数式 n 2 -3n+7 的值都是素数”是真命题吗 ? 四、判定一个命题是真命题的 方法： 通过推理的方式 , 即根据已知的事实来推断未知 事实； 要判定一个命题是真命题，往往需要 从命题的条件出发 ， 根据 已知的定义、基本事实、定理， 一步一步 推出结论 成立 ，这样的推理过程 叫做 证明 。 探要点 · 究所然 类型之一 平行线的判定 例 1  如图 1 － 3 － 1 ，在四边形 ABCD 中， AC 平分 ∠ BAD ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，说明 AB∥CD. 图 1 － 3 － 1 注意 : 证明过程中的每一步推理都要有依据 , 依据 作为推理的理由 , 可以写在每一步后的括号内 . 第 2 课时 三角形的内角和定理及推论 A B C 对于三角形，我们已经有哪些认识？ 定义 分类 内角和 …… 填要点 · 记疑点 1. 三角形的内角和性质：三角形三个内角的和等于 _________ ． 2 ．三角形的外角 定义：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角． 性质 1 ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 ___________ ． 性质 2 ：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 180 ° 内角的和 三角形的三个内角的和等于 180°. 证明命题： A B C 已知： 求证： 如图，∠ A ，∠ B ，∠ C 是△ ABC 的三个内角 . ∠ A+∠B+∠C=180° 实验 1 ： 先 将三角形纸片的一 角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图 1 ），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图 2 ）、（图 3 ），最后得到（图 4 ）所示的结果。 A C B 图 1 B A C 图 2 BA C 图 3 BAC 图 4 例 1 、求证：三角形三个内角的和等于 180º. 1 1 2 A B D 2 3 C 1 2 实验 2 ： 将三角形纸片的顶角 剪下，随意将它们拼凑在一起。 在证明 三角形的内角 和时，小明的想法是把三个角“凑”到 A 处，他过点 A 作直线 DE//BC ，（如图）。他的想法可行吗？ A B C E D 证明 过点 A 作 DE∥BC. 则 ∠ C ＝∠ CAE ，∠ B ＝∠ BAD （ 两直线平行，内错角相等 ） ∴∠ BAC+∠B+∠C ＝∠ BAC+∠BAD+∠CAE  ＝∠ DAE ＝ 180 °（ 平角的定义 ） 你还有其他的证明方法么？ 辅助线 已知：如图， △ ABC. 求证： ∠Ａ +∠ Ｂ +∠ Ｃ＝ 180 ° A B C 1 2 D E 证明：作 BC 的延长线 CD ，过点 C 作射线 CE //AB ，则 ∠ 1 ＝ ∠Ａ， （ 两直线平行，内错角相等 ） ∠ 2 ＝ ∠Ｂ，（ 两直线平行，同位角相等 ） ∠ 1+∠2+ ∠ACB ＝ 180 ° 。 ∠ Ａ +∠ Ｂ + ∠ACB ＝ 180 ° 。 3 ．证明几何命题的格式 格式： (1) 按照题意画出图形； (2) 分清命题的条件和结论，结合图形，在 “ 已知 ” 中写出条件，在 “ 求证 ” 中写出结论； (3) 在 “ 证明 ” 中写出推理过程． 探要点 · 究所然 三角形的内角和的运用 例 如图 1 － 3 － 12 ，在△ ABC 中，∠ A ＝ 60° ，∠ B ∶∠ C ＝ 1 ∶ 5. 求 ∠ B 的度数． 图 1 － 3 － 12 变式跟进 如图 1 － 3 － 13 ，在△ ABC 中，∠ B ＝ 50° ，∠ C ＝ 60° ，点 D 是 BC 边上的任意一点， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于点 F ，那么 ∠ EDF 等于 (     ) A ． 80° B ． 110° C ． 130° D ． 140° 图 1 － 3 － 13 B 第 1 章 三角形的初步知识 1.4 全等三角形 能够完全重合的两个图形叫做 全等图形。 下列同一类的图形有什么特点？ 下面各组图形是不是全等图形？为什么？ （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）边长 都是 10cm 的 两个正方形。 （ 4 ）半径相等的两个圆 。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的 对应顶点 ， 如点 A 与点 D , 互相重合的边叫做全等三角形的 对应边 ，如 AB 与 DE 。 互相重合的角叫做全等三角形的 对应角 。如∠ A 与∠ D 。 F E D C B A 能够 重合 的两个三角形叫做 全等三角形 。 三角形全等的表示方法 “ 全等”可用“ ≌ ”来表示，如 Δ ABC 和 Δ DEF 全等 ， 记 做“ Δ ABC ≌Δ DEF ” ，读 做“三角形 ABC 全等于 三 角 形 DEF” 。 注意 表示 两个三角形全等时，通常把 对应 顶点的字母写在 对应的位置 上。 F E D C B A 已知图中的两个三角形全等，请你找出它们的对应角和对应边，并用符号表示这两个三角形全等。 练一练 如图，已知 Δ OCA ≌ Δ OBD ，请 说出它们的对应边和对应角 。 O D C B A 对应边： CO 和 BO ， 对应角：∠ A 和∠ D ， ∠ C 和∠ B ， ∠ COA 和∠ BOD 。 AO 和 DO ， CA 和 BD 。 答案：（ AB=CD ， AD=CB ， BD=DB ） 练一练： 请找出右图中对应的边 A B C D ABD ≌ CDB 1 、已知： A B C D E ABC≌ AED 2 、已知： 请找出右图中对应的角 答案： 总结 寻找对应元素的规律 （ 1 ）有公共边的，公共边是对应边； （ 2 ）有公共角的，公共角是对应角； （ 3 ）有对顶角的，对顶角是对应角； （ 4 ）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （ 5 ）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；    两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？ 观察与思考 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ∵ △ABC ≌ △DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （           ） ∴ ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F , ∠ C= ∠ E （ ） 全等三角形的性质 应用 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 1 、能够       的两个图形叫全等形； 2 、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做       ；互相重合的边叫做      ；互相重合的角叫做   ； 3 、全等三角形的对应边     ，对应角     ； 完全重合 对应顶点 对应边 对应角 相等 相等 小结 4 、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在      ；例如△ ABC≌ △DFE ，对应顶点分别是 5 、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是      ，对应边所对的角是     ，对应角所对的边是      。  对应 位置 点 A 和点 D 、点 B 和点 F 、点 C 和点 E 。 对应角 对应角 对应边 第 1 章 三角形的初步知识 1.5 三角形全等的判定 三角形全等的判定定理（ SAS ） 思考 (2) 三条边 (1) 三个角 (3) 两边一角 (4) 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况 : SSS 不能 ! ? 继续探讨三角形全等的条件： 两边一角 思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这 两 条边与 这一个角的位置上有几种可能性呢？ A B C A B C 图一 图二 在图一中， ∠ A 是 AB 和 AC 的 夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边及其夹角”。 符合图二的条件， 通常 说成 “两边和其中一边的对角” 探究 在纸上的不同位置分别画一个三角形 , 它的一个角为 50° , 夹这个角的两边分别为 2cm , 2.5cm. 将这两个三角形叠在一起 , 它们完全重合吗？ 由此你能得到什么结论？ 探究 在 △ ABC 和 △ A ’ B ’ C ’ 中 , ∠ ABC= ∠ A ’ B ’ C , AB=A ’ B ’ , BC=B ’ C ’ . (1) △ ABC 和 △ A ’ B ’ C ’ 的位置关系如 图 A ’ B ’ C ’ 探究 (2) △ ABC 和△ A’B’C’ 的位置关系如 图 . （ 1 ）在 △ ABC 和△ A’B’C’ 中 , ∠ ABC= ∠ A’B’C’ , AB=A’B ’, BC=B’C’ . 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 . ( 可简写成“边角边”或“ SAS ”). S —— 边 A —— 角 结论 注意： 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形 不一定 全等 .( 即没有“ 边边角 ”或“ SSA ” 这种判定定理 ). 例 2 已知： 如图 , AB 和 CD 相交于点 O, 且 AO=BO,CO=DO . 求证：△ ACO≌△BDO. “ 边角边 ” 举 例 证明： 在 △ ACO 和 △ BDO 中 , AO=BO , ∠ AOC= ∠ BOD （ 对顶角相等 ） , CO=DO , ∴ △ ACO ≌ △BDO （ SAS ） . 全等三角形的判定 SSS 1 ．掌握三角形全等的“边边边”定理． 2 ．了解三角形的稳定性． 3 ．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作 、 归纳获得数学结论的过程． ①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F A B C D E F 1 、 什么叫全等三角形？ 能够重合 的两个三角形叫 全等三角形。 2 、 全等三角形有什么性质？ 1. 满足这六个条件 可以证明 △ ABC ≌△ DEF 吗？ 2. 如果只满足这些条件中的一部分 , 那么 能证明 △ ABC ≌△ DEF 吗 ? 思考： ① 三角 ； ② 三边； ③ 两边一角； ④ 两角一边。 3. 如果满足 三个 条件，你能说出有哪几种可能的情况？ 探索三角形全等的条件 已知两个三角形的三个内角分别为 30° ， 60° ， 90° 它们一定全等吗？    这说明有三个角对应相等的两个 三角形不一定 全等 ⑴ 三个角 已知两个三角形的三条边都分别为 3cm ， 4cm ， 6cm 。它们一定全等吗？ 3cm 4cm 6cm 4cm 6cm 3cm 6cm 4cm 3cm ⑵ 三条边 问题： 把你画的三角形与其他同学所画的三 角形进行比较，它们能够互相重合吗？ 三角形全等的条件： 三 边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS” ） 探索三角形全等的条件 证明：∵ BD=CE ， ∴ BD-ED=CE-ED ， 即 BE=CD 。 C A B D E 在 △ AEB 和 △ ADC 中， AB=AC ， AE=AD ， BE=CD ， ∴ △AEB ≌ △ ADC (sss) 例：如 图， AB=AC ， AE=AD ， BD=CE ，求证：△ AEB ≌ △ ADC. 全等三角形的判定 AAS 两边分别相等且其一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等 3cm 2.5cm 2.5cm 3cm 45° 45° 两角一夹边 (ASA) 两角一对边 (AAS) ? 引入新课 学习 目标 1 ．掌握三角形全等的“ 角角边 ”定理． 2 ．能根据条件选择合适的判定进行推理论证。 △ABC与△DEF中，AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. C A B Ｆ Ｄ Ｅ 预习反馈 C A B 角角边公理 :两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.( AAS ) Ｆ Ｄ Ｅ 在△ ABC与△DEF中 ， AB=DE, ∠A= ∠D, ∠C= ∠F. ∴△ ABC≌△DEF （ AAS ） 预习反馈 全等三角形的判定方法 边角边 SAS 有 两 边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 . 角边角 ASA 角角边 AAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 第 1 章 三角形的初步知识 1.6 尺规作图 基本作图 在几何里 , 把限定用直尺和圆规来画图 , 称为 尺规作图 . 最基本 , 最常用的尺规作图 ， 通常称 基本作图 . 其中 , 直尺是 没有 刻度的 ； 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的 ； 下面介绍两种基本作图 ： 1 、 作一条线段等于已知线段   利用直尺和圆规 可以作出很多几何图形，你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗？ 已知： 线段 AB ． 求作： 线段 A’B ’ ，使 A’B ’ ＝ AB ． A B 作法与示范： (1) 作射线 A’C ’ ； A’ C’ (2) 以点 A’ 为圆心， 以 AB 的长为半径 画弧， 交射线 A’C ’ 于点 B’ ， B’ A’B’ 就是 所求作的 线 段 。 示 范 作 法 已知： ∠ AOB 。 B O A 求作： ∠ A ’ O ’ B ’ ， 使 ∠ A ’ O ’ B ’ =∠ AOB 。 O ’ A ’ (2) 以点 O 为圆心， 任意长为半径 交 OA 于点 C ， (3) 以点 O’ 为圆心， 画弧， C D 同样 (OC) 长为半径 画弧， C ’ (4) 以点 C’ 为圆心， CD 长为半径 画弧， D ’ (5) 过点 D’ 作射线 O’B’. B ’ ∠ A ’ O ’ B ’ 就是所求的角 . 作 法 示 范 (1) 作射线 O ’ A ’ ； 交 OB 于点 D ； 交 O’A’ 于点 C ’ ； 交前面的弧于点 D’ ； （ 2 ）作一个角等于已知角 你能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗？ 用一用 数学小知识 打台球时，球的 反射角 总是等于 入射角 . 入射角 反射角 O 1 、 已知： ∠ AOB 。 利用尺规作： ∠ A’O’B’ ，使∠ A’O’B’=2∠AOB. B O A 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 作法一 : C A’ B ’ ∠ A’O’B’ 为所求 . B O A 作法二 : C D C’ E B ’ O’ A ∠ A’O’B’ 为所求 . 已知 ，求作∠ ABC ， 使 ∠ ABC ＝ ＋ 尺规作图： b a 独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。 本节课你学到了什么 ? 画一个角等于已知角； 画一条线段等于已知线段。 画 角、线段的倍数、和、差。 画法的语言： （ 1 ）画射线 ×× ； （ 2 ） 以点 × 为 圆心，以 ×× 长为半径画弧，交于点 × ；   （ 3 ）∠ × 就是 所要求 的 角。