陕西省西安市长安区2021届高三数学（理）下学期第一次模拟试题（Word版附答案）

长安区 2021 年高三年级第一次模拟试题 理科数学 本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非 选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损. 5.若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若 iz  2 ，则  zz 2 （ ） A. 10 B. 2 C. 26 D. 3 2.设集合  062  xxxA ，  02  axxB ，且  22  xxBA ，则 a ( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 3.设抛物线 C: pxy 22  的焦点为 F ，准线为l ． P 是抛物线 C 上异于O 的一点，过 P 作 PQ l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ） A.经过点 P B.经过点O C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 4. 6))(2( yxyx  的展开式中 43 yx 的系数为（ ） A. 25 B. 25 C. 15 D. 15 5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到 如下数据: 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据,求得线性回归方程 axy  4ˆ ,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右 上方的概率为( ) A. B. C. D. 6.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球 面射电望远镜（如图）.其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截 后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高， 球冠面积 Rh2S  ，其中 R 为球的半径， h 为球冠的高），设球冠底的 半径为 r ,周长为C ,球冠的面积为 S ，则当  162  SC ， 时，  R r （ ） 16 22572. A 8 15.B 16 2-2572.C 8 13.D 7.将函数 ( ) sinf x x （其中 >0）的图像向右平移 4  个单位长度，所得图像关于直线 x 对称，则 的最小值是( ) A． 3 1 B．2 C． 5 3 D． 3 2 8.已知直线l 是曲线 34 2)( xxxf  在点 ))1(,1( f 处的切线，点 ),( nmP 是直线l 上位于第一象 限的一点，则 nm nm   2 的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 25 D. 16 9.一个动圆与定圆 F: 4)3 22  yx（ 相外切,且与直线 1: xl 相切,则动圆圆心的轨迹方 程为( ) A. xy 62  B. xy 42  C. xy 82  D. xy 122  10.已知 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, 且 ,cos4 5sinsin AbbBAa  ABCcb  ,10 的面积为 ， 4 325 则 a （ ） A. 32 B．8 C．5 D. 22 3log2 111. 2a已知 , 2log2 5b , 75.0c ,则 cba ,, 的大小关系为（ ） A. cab  B. cba  C. acb  D. bac  12.设点 P 在 ABC 内且为 ABC 的外心， 30BAC ,如图.若 PBC ， ,PCA PAB 的 面积分别为 yx,,2 1 ，则 yx 的最大值是（ ） A. 6 1 B． 12 1 C． 2 2 D. 3 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 12cos2sin2),2(   ， ，则 tan ________. 14.若 yx, 满足约束条件 yxz yx xy y        2 ,2 ,1 ,1 则 的最小值是________. 15.点 P 在双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的右支上,其左、右焦点分别为 21 FF， ,直线 1PF 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A,线段 1PF 的垂直平分线恰好过点 2F ,则该双 曲线的离心率为________. 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子,古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简 粽”等,早在春秋时期就已出现,到了晋代成为了端午节庆食物.将宽为 1 的矩形纸片沿虚线折 起来,可以得到粽子形状的六面体,则该六面体的体积为______;若该六面体内有一球,当该球 体积最大时,球的表面积是_______. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：每小题 12 分，共 60 分． 17.如图，四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD ， AB AD ， AB CD∥ ， 2 2 2PD AB AD CD    ， E 为 PA 上一点，且 3 2PE PA . （1）证明：平面 EBC  平面 PAC ； （2）求直线 PB 与平面 BEC 所成角的正弦值. 18.已知等差数列 na 中，公差 0d  ， 11 77S  ，且 2a ， 6 1a  ， 11a 成等比数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 nT 为数列 1 1 n na a        的前 n 项和，且存在 *n N ，使得 1 0n nT a   成立，求实数  的取值范围． 19.2020 年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求， 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验 480 人的血样进行化验，由于人数较多， 检疫部门制定了下列两种可供选择的方案. 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 480 次. 方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每 个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的 血化验 1 k 次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组 k 个 人的血总共需要化验 1k  次. 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p ，且这些人之间的试验反应相互独 立. （1）设方案②中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X ，求 X 的分布列； （2）设 0.1p  .试比较方案②中， k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在 这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入 保留整数）. 20.已知点 P 到 ( 5,0)M 的距离与它到直线 9 5: 5l x  的距离之比为 5 3 . （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若 A 是轨迹 E 与 x 轴负半轴的交点，过点 ( 3,8)D  的直线l 与轨迹 E 交于 ,B C 两点，求 证：直线 AB 、 AC 的斜率之和为定值. 21.已知函数   2(2 3 )xf x e m x x   . （1）若函数 ( )y f x （其中 ( )f x 是 ( )f x 的导函数）在  1, 上单调递增，求 m 的取值 范围； （2）当 1m  时，若关于 x 的不等式    25 3 12f x x a x    在 1, 上恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2cos , 2 2sin x y       为参数).以坐标原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 2C 的极坐标方程为 4cos  . （1）写出曲线 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （2）设点 M 的极坐标为 4, 2      ，射线 4 2          分别交 1C ， 2C 于 ,A B 两点(异 于极点)，当 4AMB   时，求 tan . 23.已知函数 ( ) | 2 4| | 1|f x x x    ， x R . （1）解不等式： ( ) 5f x  ； （2）记 ( )f x 的最小值为 M ，若实数 ,a b 满足 2 2a b M  ，试证明： 2 2 1 1 2 2 1 3a b    . 长安区 2021 年高三年级第一次模拟试题 理科数学参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B C B D B D C A B 二．填空题: 13. 2 14. 2 7 15. 3 5 16.  9 4 3 1， 三．解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17.解：（1） PA  平面 ,ABCD BC Ì 平面 ,ABCD PA BC  ∵在直角梯形 ABCD 中， / / ,AB CD AB AD ， 2, 1AB AD CD   ， 2AC BC   2 2 2 ,AC BC AB AC BC     ， 又 .PA AC A BC    平面 PAC ， BC  平面 EBC ， 平面 EBC  平面 PAC ；…………………………………………5 分 （2）以 A 为坐标原点， , ,AD AB AP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图所 示）.易知 3(0,2,0), (1,1,0), (0,0, 3), (0,0, )3B C P E . 则 3(1, 1,0), (0, 2, )3BC BE     ， (0, 2, 3)BP   . 设 ( , , )n x y z 是平面 BCE 的法向量. 则 0 0 n BC n BE          即 0 32 03 x y y z     所以可取  1,1,2 3n  ∵ 2 2cos , 7 n BPn BP n BP         ∴ 直线 PB 与平面 BEC 所成角的正弦值为 2 2 7 . …………………………………12 分 18.解：（1）由题意可得      1 2 1 1 1 11 1011 772 5 1 10 a d a d a d a d          即 1 (7 4 ) (7 7 5 5 , ) 36 a d d d         又因为 0d  ，所以 1 2, 1. a d    所以 1na n  . ………………………………………5 分 （2）∵   1 1 1 1 1 1 2 1 2n na a n n n n       ， ∴ 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2nT n n            1 1 2 2 2 2 n n n    . ∵存在 *Nn ，使得 1 0n nT a   成立. ∴存在 *Nn ，使得    2 02 2 n nn    成立. 即存在 *Nn ，使得  22 2 n n    成立. ∵  2 1 4 162 2 2 1 4 n n n n        （当且仅当 2n  时取等号）. ∴ 1 16   ，即实数  的取值范围是 1,16     .…………………………12 分 19.解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q,则 1q p  .所以 k 个人的血混合后呈阴性反 应的概率为 (1 )k kq p  ,呈阳性反应的概率为1 1 (1 )k kq p    . 依题意可知 1 1,1X k k   ,所以 X 的分布列为： X 1 k 11 k  P (1 )kp 1 (1 )kp  ………………………………………5 分 （2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为： 1 1 1( ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1k k kE x p p pk k k                    , ∵ 0.1p  ∴当 2k  时, 21( ) 0.9 1 0.692E X     ,此时 480 人需要化验的总次数为 331 次, 3k  时, 31( ) 0.9 1 0.60433E X     ,此时 480 人需要化验的总次数为 290 次, 4k  时, 41( ) 0.9 1 0.59394E X     ,此时 480 人需要化验的次数总为 285 次, 即 2k  时化验次数最多, 3k  时次数居中, 4k  时化验次数最少.而采用方案①则需化 验 480 次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当 4k  时化验次数最多可以平均减少 480 285 195  次. ………………………………………12 分 20.解：（1）设点 ( , )P x y ，由题意可得 2 2( 5) ( 0) 5 39 5 5 x y x      . 化简整理可得 2 2 19 4 x y  ，所以点 P 的轨迹 E 的方程为 2 2 19 4 x y  . ………………………………………4 分 （2）由（1）可得，过点 D 的直线l 斜率存在且不为 0， 故可设 l 的方程为  0y kx m k   ，    1 1 2 2, , ,B x y C x y ， 由 2 2 19 4 y kx m x y     得 2 2 24 9 18 9 36 0k x kmx m     ，       2 2 2 2 218 4 4 9 9 36 144 9 4 0km k m k m         ，即 2 29 4m k  2 1 2 1 22 2 18 9 36 4 9 4 9 km mx x x xk k      ， 而                 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3AB AC y x y x kx m x kx m xy yk k x x x x x x                       1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 6 3 9 kx x k m x x m x x x x          2 2 2 2 2 2 9 36 182 3 64 9 4 9 9 36 183 94 9 4 9 m kmk k m mk k m km k k                      8 3 3m k   由于直线 l 过点  3,8D  ，所以 3 8k m   ， 所以 1 3AB ACk k  （即为定值） ………………………………………12 分 21.解：（1）∵函数   2(2 3 )xf x e m x x   的导数   (4 3)xf x e m x    ， ∴ ( ) 4xf x e m   . ∵ ( )y f x 在 1, 上单调递增 ∴ ( ) 4 0xf x e m    在 1 +， 上恒成立 ∴ 4 em   故 m 的取值范围为 ,4 e    . ………………………………………4 分 （2）当 1m  时， 2( ) 2 3xf x e x x   ∵关于 x 的不等式    25 3 12f x x a x    在 1, 上恒成立， ∴ 1 2 xe xa x x    ， 设   1 2 xe xg x x x    ，则       2 2 2 1 1 11 1 1 2 2 x xe x e xg x x x x         ， 由 1xy e x   的导数为 1xy e   ，可得 0x  时， 0y  ，函数 1xy e x   递增， 0x  时，函数 1xy e x   递减，则 1 0xe x   ，即 1 0xe x   ， ∴ 当 1x  时，      2 2 1 1 1 1 11 1 1 02 2 2 xe x x x x x          ， 则   1 2 xe xg x x x    在 1, 递增，可得    min 31 2g x g e   ， 则 3 2a e  . ………………………………………12 分 22．解：（1）∵ 2cos 2 2sin x y       ( 为参数) ∴曲线 1C 的普通方程为 2 2( 2) 4x y   ，即 2 2 4 0x y y   ∵ cosx   ， siny   ， ∴ 2 4 sin 0    ∴曲线 1C 的极坐标方程为 4sin  ∵曲线 2C 的极坐标方程为 4cos  ∴ 曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x   ………………………………4 分 （2）依题意设  1,A   ，  2 ,B   ， ∴由 4sin        得 1 4sin  .由 4cos        得 2 4cos  . ∵ 4 2    ，∴ 1 2  ∴ 1 2 4sin 4cosAB OA OB          ∵OM 是圆 2C 的直径，∴ 2OAM   . ∴在直角 Rt OAM△ 中， 4cosAM  ∵在直角 Rt ABM 中， 4AMB   ∴ AB AM ，即 4sin 4cos 4cos    ∴ tan 2  . ………………………………………10 分 23.解：（1）易知 3 3, 2 ( ) 2 4 1 5 , 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x x x                因为 ( ) 5f x  ，所以 2 3 3 5 x x     ，或 1 2 5 5 x x       ，或 1 3 3 5 x x      所以 82 3x  ，或 0 2x  ，或  ，所以 80 3x  ， 所以不等式的解集为 80 3x x     ………………………………………5 分 （2）证明：∵ ( ) | 2 4| | 1| 2 ( 2) ( 1) 2 3 3f x x x x x x x              ， 当且仅当 2x  时取等号. ∴ ( )f x 的最小值 3M  ，所以 2 2 3a b  ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1[( 2) ( 1)]2 1 2 1 6a ba b a b              2 2 2 2 1 2 12 2 1 6 b a a b          2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 1 6 3 b a a b            ， 当且仅当 2 2 2 2 1 2 2 1 b a a b    ，即 2 1a  ， 2 2b  时取等号.………………………………10 分