专题 03 常用逻辑用语
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·全国高三其他模拟）若l ， m 为两条不同的直线， 为平面，且 / /l ，则“ m ”是“ m l ”
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
由 / /l 且 m ，能推出 m l ，充分性成立；
若 / /l 且 m l ，则 m 或 / /m 或 m 与 相交，必要性不成立，
∴“ m ”是“ m l ”的充分不必要条件.
故选：A．
2．（2021·全国高三其他模拟）命题“ 0,x ， 2log 1x ”的否定是（ ）
A． 0,x ， 2log 1x B． 0 0,x ， 2 0log 1x
C． 0,x ， 2log 1x D． 0 0,x ， 2 0log 1x
【答案】B
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题可知，命题“ 0,x ， 2log 1x ”的否定为“ 0 0,x ，
2 0log 1x ”.
故选：B.
3．（2021·全国高三其他模拟）四棱锥 A BCD 中，点 E ， F 分别在棱 AB ， BC 上，且 E 为 AB 中点，
则“ //EF 平面 ACD ”是“ F 是 BC 中点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
设 p ： //EF 平面 ACD ， q： F 是 BC 中点．
当 //EF 平面 ACD 时，平面 ABC 平面 ACD AC ，
EF 平面 ABC ，则 //EF AC ，又 E 为 AB 中点，故 F 为 BC 中点，即 p q ．
当 F 为 BC 中点时，∵ E 为 AB 中点，∴ //EF AC ，
又 EF 平面 ACD ， AC 平面 ACD ．
∴ //EF 平面 ACD ，即 q p ，
故选：C．
4．（2021·全国高三二模（理））命题 p ： x R ， 2 4 4 0x x ，则命题 p 的否定 p 以及 p 的真假性
正确的选项是（ ）
A． p ： 0x R ，使得 2
0 04 4 0x x ，假
B． p ： 0x R ，使得 2
0 04 4 0x x ，真
C． p ： 0x R ，使得 2
0 04 4 0x x ，假
D． p ： x R ， 2
0 04 4 0x x ，真
【答案】B
【详解】
由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“ 0x R ，使得 2
0 04 4 0x x ”，
令 0 2x ，则 2
0 04 4 4 8 4 0x x ，所以命题“ 0x R ，使得 2
0 04 4 0x x ”为真命题，
故选：B.
5．（2021·北京西城区·高三一模）在无穷等差数列 na 中，记
1
1 2 3 4 5 1 1,2,n
n nT a a a a a a n ，则“存在 m N ，使得 2mmT T ”是“ na 为递
增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
若存在 m N ，使得 2mmT T ，
则 3 2
2 2 11 1m m
m m m mT T a a
3
2 11 0m
m ma a
，
当 m 为奇数时，只需 2 1 0m ma a ，即 2 1m ma a ；
当 m 为偶数时，只需 2 1 0m ma a ，即 2 1m ma a ；
即此时只能判断 1ma + 与 2ma + 的大小关系，无法得到 na 为递增数列，充分性不成立；
当 na 为递增数列时， 3 2
2 2 11 1m m
m m m mT T a a
3
2 11 m
m ma a
，
只需 31 0m ，即 m 为奇数，即可满足 2mmT T ，必要性成立；
“存在 m N ，使得 2mmT T ”是“ na 为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2021·山东高三专题练习）已知 p ： 2x a ， q： x a≥ ，且 p 是 q的充分不必要条件，则实数 a 的
取值范围是（ ）
A． , 1 B． , 1 C． 1, D． 1,
【答案】A
【详解】
解：因为 p ： 2x a ，所以 : 2 2p a x a ，记为 | 2 2A x a x a ；
:q x a ，记为 |B x x a ．因为 p 是 q的充分不必要条件，所以 A BÜ
所以 2a a ，解得 1a ．
故选：A
7．（2021·山东高三专题练习）已知 a ，b 为实数，则下列是“ 2.71828a be e e ”的充要条件的是（ ）
A． 1 1
a b
B． a b C． 2021 2021a b D． lg 1a b
【答案】C
【详解】
由函数 xy e 的单调性知 a be e 知： a b ，
A：由 1 1
a b
，不能得到 a ，b 的大小关系，故“ 1 1
a b
”是“ a be e ”的既不充分也不必要条件；
B：由 a b ，得 0a b ，所以“ a b ”是“ a be e ”的充分不必要条件；
C：幂函数 2021y x 在 R 上单调递增，所以 2021 2021a b 即 a b ，所以“ 2021 2021a b ”是“ a be e ”的充要条
件；
D：由 lg 1a b ，得 0 10a b ，所以“ lg 1a b ”是“ a be e ”的充分不必要条件．
故选：C．
8．（2021·全国高三专题练习（文））下列四个命题：
①已知 ,a b 是两条不同的直线， 是一个平面，若 ,b a b ，则 / /a .
②命题“ 0, ( 2) 0x x x ”的否定是“ 0 0 00, 2 0x x x ”.
③函数 ( ) sin 2 2f x x
的对称中心为 ,0 ( )4k k Z .
④函数
1, 1( )
2 3, 1
xe xf x
x x
为 R 上的增函数.
其中真命题的个数是（ ）
A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D． 3 个
【答案】B
【详解】
对于①中，若b ， a b
r r ，则 / /a 或 a ，所以①不正确；
对于②中，根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“ 0, ( 2) 0x x x ”的否定是“ 0 0 00, 2 0x x x ”，所以②是正确的；
对于③中，令 2 ,2x k k Z ，解得 ,4 2
kx k Z ，
即函数 ( )f x 的对称中心为 ( ,0),4 2
k k Z ，所以③不正确；
对于④中，当 1x ， 1 1
1 20, 2 1 3 1y e y ，此时 1 2y y ，
所以函数
1, 1( )
2 3, 1
xe xf x
x x
不是 R 上的增函数，所以④不正确.
故选：B.
二、多选题
9．（2021·辽宁高三其他模拟）下列命题的否定为真命题的是（ ）
A． 0x R ， 2
0 04 6 0x x
B．正切函数 tany x 的定义域为 R
C．函数 1y x
的单调递减区间为 ,0 0,
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】ABC
【详解】
对于 A 中，由方程 2 4 6 0x x ，因为 24 4 6 8 0 ，
所以 2 4 6 0x x 恒成立，故 A 为假命题，其否定为真命题；
对于 B 中，正切函数 tany x 的定义域为 ππ ,2x x k k Z
，所以 B 为假命题，其否定为真命题；
对于 C，函数 1y x
的单调递减区间为 ,0 ， 0, ，所以 C 为假命题，其否定为真命题；
根据平行四边形的性质，可得矩形的对角线相等且互相平分，所以 D 为真命题，其否定为假命题.
故选：ABC
10．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）下列四个条件中，能成为 x y 的充分不必要条件的是（ ）
A． 2 2xc yc B． 1 1 0x y
C． x y D． ln lnx y
【答案】ABD
【详解】
对于 A 选项：若 2 2xc yc ，则 2 0c ，则 x y ，
反之 x y ，当 0c = 时得不出 2 2xc yc ，
所以 2 2xc yc 是 x y 的充分不必要条件，故 A 正确；
对于 B 选项：由 1 1 0x y
可得 0y x ，即能推出 x y ；
但 x y 不能推出 1 1 0x y
因为 ,x y 的正负不确定) ，
所以 1 1 0x y
是 x y 的充分不必要条件，故 B 正确；
对于 C 选项：由 x y 可得 2 2x y ，则 0x y x y ，不能推出 x y ；
由 x y 也不能推出 x y (如 1, 2x y ) ，
所以 x y 是 x y 的既不充分也不必要条件，故 C 错误；
对于 D 选项:若 ln lnx y ，则 x y ，反之 x y 得不出 ln lnx y ，
所以 ln lnx y 是 x y 的充分不必要条件，故选项 D 正确．
故选：ABD．
11．（2020·苏州大学附属中学高一月考）若“ x M x x ， ”为真命题，“ 3x M x ， ”为假命题，则集
合 M 可以是（ ）
A． 5 ， B． 3 1 ， C． 3 ， D． 0 3，
【答案】AB
【详解】
3x M x ， 为假命题,
3x M x ， 为真命题，
可得 ( ,3]M ，
又 x M x x ， 为真命题，
可得 ( ,0)M ，
所以 ( ,0)M ，
故选：AB
12．（2020·深圳市高级中学高一期中）对 x R ，[ ]x 表示不超过 x 的最大整数．十八世纪， [ ]y x 被“数
学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A． , [ ] 1x x x R
B． , ,[ ] [ ] [ ]x y x y x y R
C．函数 [ ]( )y x x x R 的值域为[0,1)
D．若 t R ，使得 3 4 51, 2, 3, , 2nt t t t n L 同时成立，则正整数 n 的最大值是 5
【答案】BCD
【详解】
[ ]x 是整数， 若 [ ] 1x x ，[ ] 1x 是整数，∴[ ] [ ] 1x x ，矛盾，∴A 错误；
,x y R ，[ ] ,[ ]x x y y ，∴[ ] [ ]x y x y ，∴[ ] [ ] [ ]x y x y ，B 正确；
由定义 [ ]1x x x ，∴ 0 [ ] 1x x ，∴函数 ( ) [ ]f x x x 的值域是[0,1) ，C 正确；
若 t R ，使得 3 4 51, 2, 3, , 2nt t t t n L 同时成立，则 31 2t ， 4 42 3t ，
55 3 4t ， 6 64 5t ， ， 2 1n nn t n ，
因为 6 34 2 ，若 6n ，则不存在t 同时满足 31 2t ，6 64 5t ．只有 5n 时，存在 35[ 3, 2)t
满足题意，
故选：BCD．
三、填空题
13．（2021·辽宁高三二模（文））根据事实 21 1 ； 21 3 2 ； 21 3 5 3 ； 21 3 5 7 4 ；，写
出一个含有量词的全称命题：__________．
【答案】 n N ， 21 3 5 2 1n n .
【详解】
21 1 ， 21 2 2 1 2 ， 21 3 2 3 1 3 ， 21 3 5 2 4 1 4 ，
由此可归纳得出： n N ， 21 3 5 2 1n n .
故答案为： n N ， 21 3 5 2 1n n .
14．（2021·江西新余市·高三其他模拟（文））若“ x R ， 2 1m x ”是真命题，则实数 m 的
最小值为______．
【答案】1
【详解】
由题意：对 x R ， 2 1m x 恒成立
所以 2
max( 1)m x ，
因为 2 1y x 是开口向下的抛物线，对称轴是 0x ，
所以 2
max( 1) 1x ，
m 1 .
故答案为：1.
15．（2020·全国高三专题练习）已知 :p 函数 4 xy a 在 R 上单调递减， : 1 2q m a m ，若 p 是 q的
必要不充分条件， 则实数 m 的取值范围为__________．
【答案】 ,1
【详解】
当 p 为真时， 4 5a ，记集合 4 5A a a ， 1 2B a m a m ，.
若 p 是 q的必要不充分条件， 则 B Ü A ，
①当 1 2m m ，即 1m 时， B Ü A ；
②当 m 1 时， B Ü A 等价于
1
1 4
2 5
m
m
m
，解得 m ，
综上所述，实数 m 的取值范围为 ,1 .
故答案为: ,1 .
四、双空题
16．（2020·全国高三其他模拟（文））关于下列两个命题：设 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 0x 时，
f x 单调，则方程 3
4
xf x f x
的所有根之和为______；对于 , , 0M x y f x y 有性质 p ：
“对 , , 0,1x y M k 时，必有 ,kx ky M .现给定① 2 2, 2 0A x y x y x y ；
② 2 2, 2 1B x y x y ；现与 M 对比，①中 A 、②中 B 同样也有性质 p 的序号为______.
【答案】 8 ②
【详解】
(1)∵ f x 是定义在 R 上的偶函数
∴当满足 3
4
xf x f x
时，有两种可能
当 x 与 3
4
x
x
在 y 轴同侧时，则 3
4
xx x
，得 2 3 3 0x x ，设方程的两个根为 1x ， 2x ，显然 1 2 3x x
当 x 与 3
4
x
x
在 y 轴两侧时，则 3
4
xx x
，得 2 5 3 0x x ，设方程的两个根为 3x ， 4x ，此时 3 4 5x x
显然满足方程 3
4
xf x f x
的所有根之和为 1 2 3 4 8x x x x
(2)现结合 M 的性质 p 来研究 A 、 B
对于① 2 2, 2 0A x y x y x y ，即简化为：
2
21 5: 12 4A x y
，易知点 1 1,2 2
在此
圆上，取 1 0,12k ，但 1 1,4 4
不在 A 上.于是①错误.
对于② 2 2, 2 1B x y x y ，即 ,x y 是椭圆
2 2
11 1
2
x y 上及内部的一切点，显然当 0,1k 时，
点 ,kx ky 必在椭圆
2 2
11 1
2
x y 内，则②具备性质 p
故答案为：-8；②
微信/支付宝扫码支付