考点 08 对数与对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在
简化运算中的作用.
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.
（4）了解指数函数 xy a 与对数函数 logay x 互为反函数 0, 1( )a a 且 .
一、对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果 xa N ( 0, 1)a a 且 ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logax N ，其
中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以 10 为底的对数 lgN；自然对数，以无理数 e=2.71828…为底数的对
数 lnN.
（3）对数式与指数式的互化： logx
aa N x N .
2．对数的性质
根据对数的概念，知对数 log ( 0, 1)a N a a 且 具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即 0N ；
（2）1 的对数等于 0，即 log 1 0a ；
（3）底数的对数等于 1，即 log 1a a ；
（4）对数恒等式 log ( 0)a Na N N .
3．对数的运算性质
如果 0, 1, 0, 0a a M N 且 ，那么：
（1） log ( ) log loga a aM N = M + N ；
（2） log log log-a a a
M = M NN
；
（3） log log ( )n
a aM = n M nR .
4．对数的换底公式
对数的换底公式： loglog ( 0, 1; 0, 1; 0)log
c
b
c
NN b b c c Nb
且 且 .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以 10 为底的常用对数或以 e 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：学科！网
（1） log log 0 1, 0( )且m
n
aa
nb b a a bm
；
（2） (1log 0 1; 0 1log )且 且a
b
b a a b ba
；
（3） log log log loga b c ab c d d (其中 a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0).
二、对数函数及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0, ) .
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 的图象与性质如下表所示：
0 1a 1a
图象
定义域 (0, )
值域 R
性质
过定点 (1,0) ，即 1x 时， 0y
在 (0, ) 上是减函数 在 (0, ) 上是增函数
当 x＞1 时，y＜0；
当 0＜x＜1 时，y＞0
当 x＞1 时，y＞0；
当 0＜x＜1 时，y＜0
在直线 1x 的右侧，当 1a 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；当 0 1a 时，底数越小，图象越靠近 x
轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数 xy a ( 0a 且 1a ）与对数函数 log ( 0ay x a 且 1a ）互为反函数，其图象关于直线 y x
对称.
考向一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路：
（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一
为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；
（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.
注意：
（1）在利用对数的运算性质 log ( ) log loga a aM N = M + N 与 log log ( )n
a aM = n M nR 进行化简与求值时，
要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．
（2）注意利用等式 lg 2 lg5 1 .
典例 1 化简：
（1） 7
1log 02
3log 27 lg25 lg4 7 9.8 ；
（ 2 ） 22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23
．
【答案】（1）5；（2）3.
（ 2 ） 22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23
22 32lg5 lg 2 lg5 lg5 lg 4 lg 23
2 22lg5 2lg 2 lg5 2lg5 lg 2 lg 2
22 lg5 lg 2 lg5 lg 2
22lg10 lg10
2 1
3 ．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着
重考查了推理与运算能力.
典例 2 已知函数 1 3 xf x ,若 3
21og 2f a ,则 a
A． 1
3 B． 1
4
C． 1
2 D． 2
【答案】D
【解析】根据题意有 3log
3
1 2log 1 3 1 2
af a a
，解得 2a ，故选 D．
【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算
性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数 a 的等量关系式，即
可求得结果.
1．设 ,x y 为正数，且3 4x y ，当3x py 时， p 的值为
A． 3log 4 B． 4log 3
C． 36log 2 D． 3log 2
考向二 对数函数的图象
1．对数函数 =log ( 0, 1)ay x a a 且 的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的
问题，只需令真数为 1，解出相应的 ,x y ，即可得到定点的坐标.
2．当底数 1a 时，对数函数 ( ) logaf x x 是 (0, ) 上的增函数，当 1x 时，底数 a 的值越小，函数图
象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数 0 1a 时，对数函数 ( ) logaf x x 是 (0, ) 上的减函数，
当 0 1x 时，底数 a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线 y=1 与所给图象相
交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，
可比较底数的大小．
3．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点
时，常利用数形结合思想求解．特别地，要注意底数 1a 和 0 1a 的两种不同情况．有些复杂的问题，
借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．
4．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
典例 3 若函数 log )0, 1( 且ay x a a 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
【答案】B
【解析】由题图可知 log )0, 1( 且ay x a a 的图象过点(3,1)，则 log 3 1a ，即 3a .
A 项， 1( )3
xy 在 R 上为减函数，错误；
B 项， 3y x ，符合；
C 项， 3 3( )y x x 在 R 上为减函数，错误；
D 项， 3 (log )y x 在(－∞，0)上为减函数，错误．
典例 4 已知函数 2log , 0
3 , 0x
x
f
x
x
x
，且函数 h x f x x a 有且只有一个零点，则实数 a 的取
值范围是
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出 y f x 与 y x a 的图象，其中 a 表示直线
y x a 在 y 轴上的截距，由图可知，当 1a 时，直线 y x a 与 y f x 只有一个交点．故选 B．
2．在同一直角坐标系中，函数 2f x ax ， log 2ag x x （ 0a ，且 1a ）的图象大致为
A． B．
C． D．
考向三 对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难
都有，且主要有以下几种命题角度：
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类
讨论；
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
③若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
①形如 log loga ax b 的不等式，借助 logay x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 1a 与 0 1a
两种情况讨论；
②形如 loga x b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 =logay x 的单调性求解．
典例 5 已知
1
32a
， 2 1
2
1 1log , log3 3b c ，则
A． a b c B． a c b
C． c a b D． c b a
【答案】C
【解析】因为
1
030 2 2 1a
， 2 2
1log log 1 03b ， 1 2 2
2
1log log 3 log 2 13c ，所以
c a b ，故选 C．
【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量 1，0 来进行比较.
典例 6 求不等式 1log (4 ) loga
a
x x 的解集.
3 ． 设 函 数 f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 0x 时 ， lnf x x ， 记
31
2a f
，
3
1log 2b f
， 3c f ，则 , ,a b c 的大小关系为
A． c b a B．b c a
C．b a c D． a b c
考向四 对数函数的复合函数问题
与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题
等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对
数函数的定义域及底数的取值.
求形如 logay f x 的复合函数的单调区间，其一般步骤为：
①求定义域，即满足 0f x 的 x 的取值集合；
②将复合函数分解成基本初等函数 logay u 及 u f x ；
③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则 logay f x 为增函数，若一增一减，则 logay f x 为减函数，即“同
增异减”.
典例 7 已知函数 ( ) lg(3 ) lg(3 )f x x x ．
（1）判断 ( )f x 的奇偶性并加以证明；
（2）判断 ( )f x 的单调性（不需要证明）；
（3）解关于 m 的不等式 ( ) ( 1) 0f m f m ．
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）减函数；（3） 1( 3, )2
.
【解析】（1）由 3 0
3 0
x
x
＋
－ ，得 3 3x ，
∴函数 ( )f x 的定义域为 ( 3,3) ．
∵函数 ( )f x 的定义域关于原点对称，且 ( ) lg(3 ) lg(3 ) ( )f x x x f x ，
∴函数 ( )f x 为偶函数．
（2） 2lg(9 )f x x , lgy u 为增函数， 29u x 在 ( 3,0) 上是增函数，在 (0,3) 上是减函数，
∴ ( )f x 在 ( 3,0) 上是增函数，在 (0,3) 上是减函数.
（3） ( ) ( 1) 0f m f m 即 ( ) ( 1)f m f m ，
则
3
1
33
3
1
m
m
mm
3
4
3
2
1
2
m
m
m
，得 13 2m .
∴关于 m 的不等式 ( ) ( 1) 0f m f m 的解集为 1( 3, )2
.
4．已知函数 2 2 2 logaf x a a x 是对数函数.
（1）若函数 log 1 log 3a ag x x x ，讨论 g x 的单调性；
（2）在（1）的条件下，若 1 ,23x
，不等式 3 0g x m 的解集非空，求实数 m 的取值范围.
1．计算 3 3 2log log log 8 等于
A．1 B．16
C． 4 D． 0
2．已知 :p “ 100a ”， q ：“ 1log 10 2a ”，则 p 是 q 的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 2ln 2f x x x 的单调递减区间为
A． , 2 1, B． 1( 2 )2
,
C． 1( ,1)2
D． 1 （ ， ）
4．已知函数 2ln e ex xf x x ，则使得 f(2x)>f(x+3)成立的 x 的取值范围是
A． 1,3 B． , 3 3,
C． 3,3 D． , 1 3,
5．已知 0 1a a 且 ，函数 1 , log ,
x
ay y x y x aa
在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
6．已知 3 2 4log 2, log 3, log 7a b c ，则 , ,a b c 的大小关系为
A． a b c B．b a c
C． c a b D． a c b
7．奇函数 f x 满足 2f x f x ，当 0,1x 时， 13 2
xf x ，则 3log 54f
A．−2 B． 7
6
C． 7
6
D．2
8．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 ,0 上单调递增，若实数 a 满足
3log2 2af f ，则 a 的取值范围是
A． 3, B． 1, 3
C． 0, 3 D． , 3
9．方程 3 3log 3 2 5 log 4 1 0x x 的解为 x _________．学！科网
10．已知函数 3logf x x ，设正实数 ,a b 满足 a b ，且 f a f b ，若 f x 在区间 2 ,a b 上的最
大值为 2，则 ba =________．
11．设函数 log 3 log 3 0, 1a af x x x a a ，且 0 2f .
（1）求实数 a 的值及函数 f x 的定义域；
（2）求函数 f x 在区间 0, 6 上的最小值.
12．已知函数 2log 2xf x k k R 的图象过点 0,1P .
（1）求 k 的值并求函数 f x 的值域；
（2）若关于 x 的方程 f x x m 有实根，求实数 m 的取值范围；
（3）若函数 122 2 , 0,4
x
f xh x a x
，则是否存在实数 a ，使得函数 h x 的最大值为 0 ?若存
在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
1．（2018 年高考天津卷文科）已知
1
3
3 1
3
7 1 1log , , log2 4 5a b c
，则 , ,a b c 的大小关系为
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
2．（2018 年高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数 lny x 的图象关于直线 1x 对称的是
A． ln 1y x B． ln 2y x
C． ln 1y x D． ln 2y x
3．（2017 年高考新课标全国Ⅱ卷文科）函数 2( ) ln( 2 8)f x x x 的单调递增区间是
A． ( , 2) B． ( ,1)
C． (1, ) D． (4, )
4．（2016 年高考新课标全国Ⅱ卷文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lg x 的定义域和值域
相同的是
A．y=x B．y=lg x
C．y=2x D． 1y
x
5 ． （ 2017 年 高 考 天 津 卷 文 科 ） 已 知 奇 函 数 ( )f x 在 R 上 是 增 函 数 ． 若
0.8
2 2
1(log ), (log 4.1), (2 )5a f b f c f ，则 a ，b ， c 的大小关系为
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
6．（2017 年高考北京卷文科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普
通物质的原子总数 N 约为 1080．则下列各数中与 M
N
最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
7．（2016 年高考新课标全国Ⅰ卷文科）若 0a b , 0 1c ,则
A．logac1a b ，则
A． ( 1)( 1) 0a b B． ( 1)( ) 0a a b
C． ( 1)( ) 0b b a D． ( 1)( ) 0b b a
9．（2017 年高考新课标全国Ⅰ卷文科）已知函数 ( ) ln ln(2 )f x x x ，则
A． ( )f x 在（0，2）单调递增 B． ( )f x 在（0，2）单调递减
C．y= ( )f x 的图像关于直线 x=1 对称 D．y= ( )f x 的图像关于点（1，0）对称
10．（2018 年高考江苏卷）函数 2log 1f x x 的定义域为________．
11．（2018 年高考新课标 I 卷文科）已知函数 2
2logf x x a ，若 3 1f ，则 a ________．
12．（2018 年高考新课标Ⅲ卷文科）已知函数 2ln 1 1f x x x ， 4f a ，则 f a ________．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】令 3 4x y t ，则 3 4log , logx t y t ，由3x py 得 3
3 3
4
3log 3log 4 3log 4 6log 2log log 3
t
t
tp t
，
故选 C．
2．【答案】A
【解析】由题意，当 0a 时，函数 2f x ax 为单调递减函数，若 0 1a ，函数 2f x ax 的
零 点 0
2 2x a
， 且 函 数 log 2ag x x 在 2 ， 上 为 单 调 递 减 函 数 ； 若 1a ， 函 数
2f x ax 的零点 0
2 2x a
，且函数 log 2ag x x 在 2 ， 上为单调递增函数.综上得，
正确答案为 A．
3．【答案】A
【解析】∵x＞0 时， lnf x x ，∴ ( )f x 在（0，+∞）上单调递增；
∵ ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，∴ 3 3
1 1log log2 2b f f
= 3log 2f ；
∵ 31 log 2 2＜ ＜ ， 310 ( ) 12
＜ ＜ ，∴ 3
3
10 ( ) log 2 32
＜ ＜ ＜ ，∴ 3
3
1( ) log 2 32f f f
＜ ＜ ，
∴a＜b＜c，即 c＞b＞a．
故选 A．
【名师点睛】根据 x＞0 时 ( )f x 的解析式即可知 ( )f x 在（0，+∞）上单调递增，由 ( )f x 为奇函数即可
得出 3log 2b f ，然后比较 3
3
1( ) log 2 32
， 和 的大小关系，根据 ( )f x 在（0，+∞）上单调递增即可
比较出 a，b，c 的大小关系．利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面
要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，
当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 0,1的应用，有
时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
4．【答案】（1）见解析；（2） 4, .
【解析】（1）由题意可知：
2 2 2 1
0 1
a a
a a
且
，解得 3, 1a a （舍去），
∴函数 f x 的解析式为 3logf x x .
∵ log 1 log 3a ag x x x ，
∴ 1 0
3 0
x
x
，
∴ 1
3
x
x
，
∴ 1 3x ，即 g x 的定义域为 | 1 3x x .
由于 2
3 3 3log 1 log 3 log 2 3g x x x x x ，
令 2 2 3u x x x 1 3x ，则由对称轴 1x 可知， u x 在 1,1 上单调递增，在 1,3 上单
调递减；
又因为 3logy u 在 0, 上单调递增，
故 g x 的单调递增区间为 1,1 ，单调递减区间为 1,3 .
【思路点拨】（1）由对数函数的定义，得到 a 的值，进而得到函数 g x 的解析式，再根据复合函数的单
调性，即可求解函数 g x 的单调性.
（2）不等式 3 0g x m 的解集非空，得 min3m g x ，由（1）得到函数的单调性，求得函数
的最小值，即可求得实数 m 的取值范围.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】由 3
3 3 2 3 3 2 3 3 3log log log 8 log [log log 2 log log 3] log 1 0 ，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算求值，根据对数的运算公式，即可求解式子的数值．其中熟记
对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
2．【答案】B
【解析】 100a 时， 1log 10 2a ，而 1log 10 2a 时， 100 0 1a a 或 ，即 100a 不一定成立，
p 是 q 的充分不必要条件，故选 B．
【名师点睛】利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.判断充要条件时应注意：首先弄清
条件 p 和结论 q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 ,p q q p .对于带有否定性的命
题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命
题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
3．【答案】C
【解析】由 2 2 0x x 可得 2 1x ，设 2 2t x x ，因为函数 2 2t x x 在 1( ,1)2
上
单调递减， lny t 单调递增，所以函数 f x 的单调递减区间为 1( ,1)2
，故选 C．
【名师点睛】求出函数的定义域，利用二次函数的单调性结合对数函数的单调性求解即可.本题主要考查
对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单
调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义
域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，
减增 减）.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再
判断函数的单调性，将 2 3f x f x 转化为 2 3x x 进行求解.要注意：奇函数在对称的区间上
单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反.
5．【答案】B
【解析】当 1a 时， 1 x
y a
单调递减， logay x 单调递增， y x a 在 y 轴上的纵截距大于 1，
A,B,C,D 均不满足；
当 0 1a 时， 1 x
y a
单调递增， logay x 单调递减， y x a 在 y 轴上的纵截距介于 0 和 1 之
间，可知 B 满足.
故选 B．
6．【答案】D
【解析】 3 2 4log 2 1, log 3 1, log 7a b c 2 2log 7 log 3 ，且 4log 7 1c ，故 a c b ，
故选 D．
【名师点睛】本题考查对数函数的基本性质和运算公式，可以先比较同底的对数大小，再结合中间值 1,
进行比较即可.比较大小的试题通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可，属于基础题.
【名师点睛】先由题意得到函数的周期为 4，确定出 3log 54 的范围，然后根据函数的周期性和奇偶性求
解．本题考查函数的性质及指数、对数的运算，解题的关键是通过函数的周期性将求值问题转化到区间
（0,1）内解决．
8．【答案】A
【解析】∵函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且在区间（−∞，0]上单调递增，∴ f x 在 R 上都是增
函数，则不等式 3log2 2af f 等价于 3log2 2af f ，即 3
1
log 22 2 2a ，
则
1
2
3 3
1log log 32a ，即 a＞
1
23 3 ，即实数 a 的取值范围是 3, .
故答案为 A.
【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系得到 f x 是 R 上的增函数，
再结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．其中结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进
行转化是解决本题的关键．
9．【答案】 2
【解析】 3 3 3 3log 3 2 5 log 4 1 0 log 3 2 5 log 4 1 3 2 5 4 1x x x x x x
2
4 3 2 4 0 2 3 2 4 0 2 4x x x x x 或 2 1x （舍去），即 2 4x ，解得 2.x 即答案
为 2.
10．【答案】 1
27
【解析】根据题意可知 0 1, 1a b ，并且可以知道函数 3logf x x 在 0,1 上是减函数，在
1, 上 是 增 函 数 ， 且 有 1ab ， 又 20 1a a ， 所 以 由 题 中 的 条 件 ， 可 知
2 2
3max log 2f x f a a ，可以解得 1
3a ，所以 3b ，则有
31 1
3 27
ba
.
【名师点睛】该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，
首先需要确定函数 3logf x x 的图象，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等
的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，
根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果.
（2） 2
3 3 3 3log 3 log 3 log 3 3 log 9f x x x x x x .
∴当 3,0x 时， f x 是增函数；当 0,3x 时， f x 是减函数，
故函数 f x 在区间 0 6 ， 上的最小值是 36 log 3 1f .
【思路点拨】（1）根据题设，由 0 2f ，可求出参数 a 的值，根据对数函数的定义，由3 0x 且
3 0x ，解此不等式，从而求出函数的定义域；
（2）由（1）可确定函数 f x 的解析式，经化简整理得 2
3log 9f x x ，再根据函数 f x 的
单调性可知该函数的最小值为 6f .
12．【答案】（1）1， 0, ；（2） 0, ；（3）存在 17
8a 使得函数 h x 的最大值为 0.
【解析】（1）因为函数 2log 2xf x k k R 的图象过点 0,1P ，
所以 0 1f ，即 2log 1 1k ，
所以 1k ，
所以 2log 2 1xf x ，
因为 2 0x ，
所以 2 1 1x ，
所以 2log 2 1 0x ，
所以函数 f x 的值域为 0, .
（ 2 ） 因 为 关 于 x 的 方 程 f x x m 有 实 根 ， 即 方 程 2log 2 1xm x 有 实 根 ， 即 函 数
2log 2 1xy x 的图象与函数 y m 的图象有交点，
令 2log 2 1xg x x ，则函数 y g x 的图象与直线 y m 有交点，
又 2 2 2 2 2
2 1 1log 2 1 log 2 1 log 2 log log 12 2
x
x x x
x xg x x
，
任取 1 2 1 2,x x x x R且 ，则 1 20 2 2x x ，
所以
1 2
1 1
2 2x x ，
所以
1 2
1 11 12 2x x ，
所以 1 2g x g x
12
1log 1 2x
22
1log 1 02x
，
所以 1 2g x g x ，
所以 g x 在 R 上是减函数（或由复合函数判断 2
1log 1 2xg x
为单调递减函数也可），
因为 11 12x ，
所以 2
1log 1 0,2xg x
，
所以实数 m 的取值范围是 0, .
【思路点拨】（1）根据 0,1P 在图象上，代入计算即可求解 1k ，因为 2 0x ，所以 2 1 1x ，所
以 2log 2 1 0xf x ，可得函数 f x 的值域为 0, ；
（2）原方程等价于 2log 2 1xg x x 的图象与直线 y m 有交点，先证明 g x 的单调性，可
得到 g x 的值域，从而可得实数 m 的取值范围；
（3）根据 0,4x ， 22
x
t ，转化为二次函数 2 2 1, 1,4t t at t 的最大值问题，讨论函数 t
的最大值，求解实数 a 即可.
直通高考
1．【答案】D
【解析】由题意可知： 3 3 3
7log 3 log log 92
，即1 2a ，
11 031 1 10 4 4 4
，即 0 1b ，
1 3 3
3
1 7log log 5 log5 2
，即 c a ，综上可得： c a b .故本题选择 D 选项.
【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定 a,b,c 的大小关
系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不
相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同
指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
2．【答案】B
【解析】函数 lny x 过定点（1，0），（1，0）关于直线 x=1 对称的点还是（1，0），只有 ln 2y x
的图象过此点.故选项 B 正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数 lny x 过定点
（1，0）及其关于直线 x=1 对称的点，代入选项验证即可.
3．【答案】D
【解析】要使函数有意义，则 2 2 8 0x x ，解得 2x 或 4x ，结合二次函数的单调性、对数函
数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 4, .故选 D.
【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）
图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不
连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（3）利用复合函数“同增异减”的原则，
此时需先确定函数的单调性.
4．【答案】D
【解析】 lg10 xy x ，定义域与值域均为 0, ，只有 D 满足，故选 D．
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
5．【答案】C
【解析】由题意可得 2 2
1( log ) (log 5)5a f f ，且 2 2log 5 log 4.1 2 ， 0.81 2 2 ，所以
0.8
2 2log 5 log 4.1 2 ，结合函数的单调性可得 0.8
2 2(log 5) (log 4.1) (2 )f f f ，即 a b c ，即
c b a ．故选 C．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借
助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数
的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
6．【答案】D
【解析】设
361
80
3
10
M xN
，两边取对数，
361
361 80
80
3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x ，
所以 93.2810x ，即 M
N
最接近 9310 ，故选 D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，
以及指数与对数运算的关系，难点是令
361
80
3
10x ，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含
log log loga a aM N MN ， log log loga a a
MM N N
， log logn
a aM n M .
7．【答案】B
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的
单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．【答案】D
【解析】 log log 1b a a a ，
当 1a 时， 1b a ， 1 0, 0 1 0, 0a b a b a b ，
( 1)( 1) 0,( 1)( ) 0,( 1)( ) 0.a b a a b b b a 观察各选项可知选 D.
【易错点睛】在解不等式 log 1a b 时，一定要注意对 a 分为 1a 和 0 1a 两种情况进行讨论，否则
很容易出现错误．
9．【答案】C
【解析】由题意知， (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x ，所以 ( )f x 的图像关于直线 1x 对称，故 C 正
确，D 错误；又 ( ) ln[ (2 )]f x x x （ 0 2x ），由复合函数的单调性可知 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增，
在 (1,2) 上单调递减，所以 A，B 错误，故选 C．
【名师点睛】如果函数 ( )f x ， x D ，满足 x D ，恒有 ( ) ( )f a x f b x ，那么函数的图像有
对称轴
2
a bx a＋b
2
；如果函数 ( )f x ， x D ，满足 x D ，恒有 ( ) ( )f a x f b x ，那么函
数 ( )f x 的图像有对称中心 ( ,0)2
a b ．
10．【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数 f x 有意义，则需 2log 1 0x ，解得 2x ，即函数 f x 的定义域为 2, .
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被
开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
11．【答案】 7
【解析】根据题意有 23 log 9 1f a ，可得9 2a ，所以 7a ，故答案是 7 .
【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解
的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
12．【答案】 2
【解析】由题意得 2 2 2 2ln 1 1 ln 1 1 ln 1 2 2f x f x x x x x x x ，
2f a f a ,则 2f a ,故答案为−2. 学！科网
【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现 2f x f x 是关键，属于中档题.
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