1、已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 过 垂直 x 轴的直线与双曲线 C 的两渐近
线的交点分别是 M、N，若 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
A【解析】双曲线的渐近线方程为 ．设双曲线的半焦距为 ，则
由已知得 ，所以，离心率 ，选 ．
2、若函数 满足 ，当 x∈[0，1]时， ，若在区间(-1，1]上，
有两个零点，则实数 m 的取值范围是
A．03 C.λ2n－1(n
－1－λ)，即λ0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B
是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
C【解析】由题意设 P(－c，y0)，将 P(－c，y0)代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，
则 ＝b2 ＝b2· ＝ ．∴y0＝ 或 y0＝－ (舍去)，∴P ，∴kOP＝－ ．
∵A(a,0)，B(0，b)，∴ kAB＝ ＝－ ．又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－ ＝－ ，∴b＝c．
∴e＝ ＝ ＝ ＝ ．故选 C．
19、已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，且双曲线的右焦点为
圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A． － ＝1 B． － ＝1C． － ＝1 D． － ＝1
A【解析】由 x2＋y2－6x＋5＝0 知圆心 C(3,0)，半径 r＝2．
又 － ＝1 的渐近线为 bx±ay＝0，且与圆 C 相切．由直线与圆相切，得 ＝2，
即 5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆 C 的圆心，所以 c＝3，从而 9＝a2＋b2，②
由①②联立，得 a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为 － ＝1，选 A．
20、已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则
的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
A.【解析】：由题意可得，椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，
∴ ，∴双曲线 的渐近线方程为 ，即 .
21、已知函数 ， .若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
B.【解析】如图，由已知，函数 ， 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 ，
之间时，符合题意，故选 B.
22、如图所示，已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 交双曲线的渐近
线于 、 两点，且直线 的倾斜角是渐近线 倾斜角的 2 倍，若 ，则该双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
B【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
∵直线 l 的倾斜角是渐近线 OA 倾斜角的 2 倍，∴ ，
∴直线 l 的方程为 ，与 联立，可得 或 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴c=2b，∴ ．故选：B．
23、已知函数 的两个极值点分别为 ，且 ， ，点 表
示的平面区域为 ，若函数 的图象上存在区域 内的点，则实数 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
Ｂ【解析】：∵函数 的两个极值点分别为 x 1 ，x 2 ，且 x 1 ∈（0，1），x 2 ∈（1，
+∞）， 的两根 x 1 ，x 2 满足 0＜x 1 ＜1＜x 2 ，则 x 1 +x 2 =-m，x 1 x 2 = ＞0，
，即 n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域 D，
如图：
∴m＜-1，n＞1．∵ 的图象上存在区域 D 内的点，
∴log a （-1+4）＞1，∴ ∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得 1＜a＜3；故选Ｂ．
24、若直线 mx＋ny＝4 与⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 ＋ ＝1 的交点个数是( )
A．至多为 1 B．2 C．1 D．0
B【解析】由题意知： >2，即 0，b>0)上不存在点 P，使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y
轴上，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A．( ，＋∞) B．[ ，＋∞)C．(1， ] D．(1， )
C【解析】若存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上，此时直线 OP 的斜率应为
±1，所以只要渐近线方程 y＝ x 的斜率大于 1 或 y＝－ x 的斜率小于－1，即 >1 即可，所以离心率 e> ，
又双曲线的离心率 e>1，所以满足题设条件的双曲线的离心率的取值范围为(1， ]．
27、若椭圆 ＋ ＝1 与双曲线 － ＝1(m，n，p，q 均为正数)有共同的焦点 F1，F2，P 是两曲线的一个公
共点，则 · ＝( )
A．p2－m2 B．p－m C．m－p D．m2－p2
C【解析】据题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，
即 F1，F2 在 x 轴上，∴椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴为 ．
∵P 既在椭圆上，又在双曲线上，∴据椭圆和双曲线的定义知，
两式平方相减得 4 ＝4(m－p)，∴ ＝m－p．
28、设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 ＝2 ， ⊥ ，当点 P 在 y 轴上运动时，点 N 的轨
迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝ x D．y2＝ x
B【解析】设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵ ⊥ ， ＝(x0，－y0)，
＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y0
2＝0．由 ＝2 ，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴ 即 ∴－x＋ ＝0，即 y2＝4x．故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x．故选 B．
29、设圆(x＋1)2＋y2＝25 的圆心为 C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的
连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为( )
A． － ＝1 B． ＋ ＝1C． － ＝1 D． ＋ ＝1
D【解析】M 为 AQ 垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故 M 的轨迹为椭
圆，
∴a＝ ，c＝1，则 b2＝a2－c2＝ ，∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
30、设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 A 在 y 轴上，若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，且点 B 到抛物线准线
的距离为 ，则点 A 的坐标为( )
A．(0，±2) B．(0,2)C．(0，±4) D．(0,4)
A【解析】在△AOF 中，点 B 为边 AF 的中点，故点 B 的横坐标为 ，因此 ＝ ＋ ，解得 p＝ ，故抛物
线方程为 y2＝2 x，可得点 B 坐标为( ，±1)，故点 A 的坐标为(0，±2)．
31、函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为π；②将 f(x)的图象向左平移 个单位，所得到的函数是偶函数；
③f(0)＝1；④f( ) － ＝ ，所以 f( )
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