高考数学（文）考点一遍过考点07 指数与指数函数-

考点 07 指数与指数函数 （1）了解指数函数模型的实际背景. （2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. （3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. （4）知道指数函数是一类重要的函数模型. 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1） n 次方根的概念与性质 n 次 方 根 概念 一般地，如果 nx a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 1n  ， n Ν . 性质 ①当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数. 这时， a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ②当 n 是偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正 数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成 ( 0)n a a  .负数没有偶次方根. ③0 的任何次方根都为 0，记作 0 0n  . （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数. 性质 ① ( ) ( 1, )nn a a n n   N且 . ②当 n 为奇数时， n na a . ③当 n 为偶数时， , 0 , 0 n n a aa a a a     . 【注】速记口诀： 正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零． 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是 *( 0, , , 1) m n mna a a m n n   N 且 . 于是，在条件 *0, , , 1a m n n  N 且 下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 *1 ( 0, , , m n m n a a m n a    N 且 1)n  . ③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性 质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 ,r s ，均有下面的运算性质： ① ( 0, , )r s r sa a a a r s   Q ； ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s   Q ； ③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r    Q . （3）无理数指数幂 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无 理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂 ( 0, )a a  是无理数 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于 无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数 ( 0, 1)xy a a a  且 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 【注】指数函数 ( 0, 1)xy a a a  且 的结构特征： (1)底数：大于零且不等于 1 的常数； (2)指数：仅有自变量 x； (3)系数：ax 的系数是 1. 2．指数函数 ( 0, 1)xy a a a  且 的图象与性质 0 1a  1a  图象 定义域 R 值域 (0, ) 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数 y=a−x 与 y=ax 的图象关于 y 轴对称 过定点 过定点 (0,1) ，即 0x  时， 1y  单调性 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 函数值的 变化情况 当 0x  时， 1y  ； 当 0x  时， 0 1y  当 0x  时， 1y  ； 当 0x  时， 0 1y  底数对图 象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 0